به صورت سنتی در ریاضی به توان دوم یک عبارت ''مربع آن عبارت'' گفته می‌شود مانند رابطهٔ بالا که در آن مساحت برابر توان دوم ضلع بود. در ادامه چنین کاربردی عبارت ''[[مربع کامل]]'' نیز به واژه نامهٔ ریاضیات افزوده شد به معنی به توان دو رساندن.
در هندسه مساحت با این اصل آغاز می‌شود:مساحت مربعی به طول ۱ برابر است با ۱.
با این اصل می توان اثبات کرد که مساحت مربعی به ازای هر طولی در دسته اعداد حقیقی برابر است با مجذور طول آن ضلع. برای اثبات این مسئله باید یک بار طول ضلع مربع را یک عدد طبیعی بگیرید. سپس ثابت کنید می توانیم n² تا مربع به طول ضلع ۱ در این شکل قرار دهیم. سپس طول ضلع را یک عدد گویا بیان می کنیم مانند ۱/۲ . بعد ثابت می کنید در مربعی به طول ضلع ۱ می توان ۲ تا از این مربع ها قرار داد. پس در بازه‌اعداد گویا هم مساحت مربع برابر است با n². بعد باید به سراغ اعداد گنگ برویم مانند رادیکال ۲. اینجا ۲ دنباله صعودی و نزولی تعریف می کنید که دنباله صعودی از رادیکال ۲ بزرگ تر و یکی دیگر از دنباله های کوچک تر.(دقت کنید ریاضی دان ها ابتدا قبل از این کار اثبات می کنند عدد رادیکال ۲ وجود دارد. اول تعریف رادیکال ۲ را می گویند که هست : عددی که ضربدر خودش می شود ۲ ، سپس ثابت می کنند این عدد وجود دارد!). سپس حاصل ضرب دو عضو این دنباله رو که کمترین اختلاف رو دارند در نظر می گیریم. سپس اختلاف این دو دنباله رو کم می کنیم طوری که خیلی نزدیک به مساحت مربعی به اندازه ۲ واحد می شویم. اینجا با استفاده از قضیه های حد (که اثبات دارند) استفاده می کنیم و می فهمیم باز هم مساحت مربع شده است مجذور طول ضلع آن. بعد از اثبات مساحت مربع به همین ترتیب مساحت مستطیل را اثبات می کنیم که کمی ساده تر است و سپس مثلث و ما بقی شکل ها. منبع:هندسه اول نظام قدیم سال ۶۶ که متاسفانه لینک یا pdf از آن در دسترس نیست
