کاربر:Z Ehyaei/صفحه تمرین: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
خط ۱۴:
== تعریف تفصیلی ==
رابطه ی زیر را در نظر بگیرید:
<math display="block">
y_{it} ~=~ \gamma_{s(i)} + \lambda_t + \delta I + \varepsilon_{it}</math>
که در آن:
* <math>y_{it}</math> وضعیت متغیر وابسته مربوط به فرد <math>i</math> در زمان <math>s(i)</math> است،
* <math>s(i)</math> نشان دهنده گروهی است که فرد <math>i</math> متعلق به آن گروه است،
* <math> I(\dots) </math> شاخصی ساختگی است که زمانی که عبارت منطقی داخل آن برقرار باشد مقدار آن 1 و در غیر اینصورت مقدار آن صفر است،
* <math>\gamma_s</math> برابر عرض از مبدا در نمودار <math>Y</math> بر زمان برای گروه <math>s(i)</math> می باشد،
*<math>\lambda_t</math> برابر زمانی است که هر دو گروه مطابق با فرض '''روند موازی''' -که در ادامه توضیح داده می شود- به اشتراک گذاشته اند،
* <math>\delta</math> تاثیر درمان است و
* <math>\varepsilon_{it}</math> بیانگر خطاست.
حال می خواهیم مقدار تاثیر درمان را به صورت متوسط محاسبه کنیم. برای این منظور میانگین متغیر وابسته و شاخص ساختگی را با توجه به گروه و زمان، در نظر می گیریم:
<math>
\begin{align}
n_s & = \text{ number of individuals in group } s \\
\overline{y}_{st} & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n y_{it} \ I(s(i) ~=~ s), \\
\overline{\gamma}_s & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n \gamma_s(i) \ I(s(i) ~=~ s) ~=~ \gamma_s, \\
\overline{\lambda}_{st} & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n \lambda_t \ I(s(i) ~=~ s) ~=~ \lambda_t, \\
D_{st} & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n I(s(i) ~=~\text{ treatment, } t \text{ in after period}) \ I(s(i) ~=~ s) ~=~ I(s ~=~\text{ treatment, } t \text{ in after period}) , \\
\overline{\varepsilon}_{st} & = \frac{1}{n_s} \sum_{i=1}^n \varepsilon_{it} \ I(s(i) ~=~ s),
\end{align}
</math>
برای سادگی فرض می کنیم که <math>s</math> و <math>t</math> تنها مقادیر 1 و 2 را می پذیرند. در اینصورت خواهیم داشت:
<math>
\begin{align}
& (\overline{y}_{11} - \overline{y}_{12}) - (\overline{y}_{21} - \overline{y}_{22}) \\[6pt]
= {} & \big[ (\gamma_1 + \lambda_1 + \delta D_{11} + \overline{\varepsilon}_{11}) - (\gamma_1 + \lambda_2 + \delta D_{12} + \overline{\varepsilon}_{12}) \big] \\
& \qquad {} - \big[ (\gamma_2 + \lambda_1 + \delta D_{21} + \overline{\varepsilon}_{21}) - (\gamma_2 + \lambda_2 + \delta D_{22} + \overline{\varepsilon}_{22}) \big] \\[6pt]
= {} & \delta (D_{11} - D_{12}) + \delta(D_{22} - D_{21}) + \overline{\varepsilon}_{11} - \overline{\varepsilon}_{12} + \overline{\varepsilon}_{22} - \overline{\varepsilon}_{21}.
\end{align}
</math>
با فرض اینکه <math>
\operatorname{E}[\,\varepsilon\mid X\,] = 0
</math> باشد، خواهیم داشت:
<math>
\operatorname{E} \left [ (\overline{y}_{11} - \overline{y}_{12}) - (\overline{y}_{21} - \overline{y}_{22}) \right ] ~=~ \delta (D_{11} - D_{12}) + \delta(D_{22} - D_{21}).</math>
اگر گروه 2 گروه درمان و زمان پس از اعمال روش درمان نیز <math>t = 2</math> باشد، <math>D_{22}=1</math> و <math>D_{11}=D_{12}=D_{21}=0</math> می شود و تاثیر درمان برابر خواهد بود با:
<math>
\hat{\delta} ~=~ (\overline{y}_{11} - \overline{y}_{12}) - (\overline{y}_{21} - \overline{y}_{22})</math>
== فرضیات ==
| |||