اثر کاسیمیر: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش |
بدون خلاصۀ ویرایش برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر |
||
خط ۴۴:
با تمرکز روی وضعیت یک بعدی ، می توان جاذبه بین صفحات را به راحتی درک کرد. فرض کنید که صفحه هدایتی متحرک در فاصله کوتاهی از یکی از دو صفحه بطور گسترده از هم جدا شده باشد (فاصله L از هم قرار دارند).با وجود ''a'' << ''L''حالت هایی در شکاف عرض a بسیار محدود می شوند تا انرژی E از هر حالت به طور گسترده ای از حالت بعدی جدا شود. این مورد در منطقه بزرگ L اتفاق نمی افتد ، جایی که تعداد زیادی (تعداد در حدود ''L'' / ''a'')حالت هایی با انرژی مساوی بین E و حالت بعدی در شکاف باریک فاصله دارد. اکنون با کوتاه کردن a توسط d''a'' (< 0) حالت در شکاف باریک در طول موج کاهش می یابد و بنابراین در انرژی متناسب با −d''a''/''a''افزایش می یابد ، در حالی که تمام حالت های L / a که در منطقه طولی بزرگ قرار دارند ، انرژیشان را توسط مقداری متناسب با da / L کاهش می دهند. این دو اثر تقریباً لغو می شوند ، اما تغییر خالص اندکی منفی است ، زیرا انرژی تمام حالت های L / a در منطقه بزرگ کمی بزرگتر از حالت واحد در شکاف است. بنابراین نیرو جذاب است ، تمایل دارد کمی کوچکتر شود.(صفحه هایی که یکدیگر را در شکاف نازک جذب می کنند)
== اشتقاق اثر کازیمیر با فرض تنظیم zeta ==
در محاسبه اصلی كازیمیر ، فاصله بین یك جفت صفحات فلزی با فاصله الفا در نظر گرفته شده است. در این حالت ، محاسبه امواج ایستاده بسیار آسان است ، زیرا اجزای عرضی میدان الکتریکی و مؤلفه طبیعی میدان مغناطیسی باید در سطح یک هادی از بین بروند. با فرض اینکه صفحات به موازات صفحه xy قرار دارند ، امواج ایستاده به صورت زیر هستند:
<math display="block">\psi_n(x,y,z;t)=e^{-i\omega_nt} e^{ik_xx+ik_yy} \sin(k_n z)</math>
جایی که <math>\psi</math> مخفف عنصر الکتریکی میدان الکترومغناطیسی است و برای کوتاه بودن ، قطبش و اجزای مغناطیسی در اینجا نادیده گرفته می شود. در اینجا ، <math>k_x</math> and <math>k_y</math> عدد موج در جهت های موازی با صفحه ها هستند و عبارت ریاضی
<math display="block">k_n=\frac{n\pi}{a}</math>
عدد موج عمود بر صفحات است. در اینجا ، n یک عدد صحیح است ، که ناشی از شرطی است که ψ بر روی صفحات فلزی ناپدید شود. فرکانس این موج به صورت زیر است:
<math display="block">\omega_n=c \sqrt{{k_x}^2 + {k_y}^2 + \frac{n^2\pi^2}{a^2}}</math>
جایی که c سرعت نور است.در نتیجه انرژی خلاء در کل ، تمام حالتهای تحریک ممکن است. از آنجا که مساحت صفحات بزرگ است ، ممکن است با ادغام بیش از دو بعد در فضای k خلاصه شویم. فرض شرایط مرزی دوره ای به صورت زیر است :
<math display="block">\langle E \rangle=\frac{\hbar}{2} \cdot 2
\int \frac{A dk_x dk_y}{(2\pi)^2} \sum_{n=1}^\infty \omega_n </math>
جایی که A مساحت صفحات فلزی است و یک عامل 2 برای دو قطبش احتمالی موج معرفی می شود. این عبارت کاملاً نامتناهی است و برای ادامه محاسبه برای معرفی یک تنظیم کننده راحت است (در مورد جزئیات بیشتر در زیر بحث شده است). تنظیم کننده در خدمت تنظیم دقیق بیان است و در آخر حذف می شود. نسخه تنظیم شده زتا از انرژی در واحد سطح بشقاب به صورت زیر است:
<math display="block">\frac{\langle E(s) \rangle}{A}=\hbar
\int \frac{dk_x dk_y}{(2\pi)^2} \sum_{n=1}^\infty \omega_n
\vert \omega_n\vert^{-s}.</math>
در پایان ، حد مجاز <math>s\to 0</math> است.در اینجا فقط یک عدد پیچیده وجود دارد که نباید با شکلی که قبلاً مورد بحث قرار گرفته اشتباه گرفته شود. این انتگرال / جمع برای s واقعی و بزرگتر از 3 محدود است. جمع دارای قطب در s = 0 است ، اما ممکن است به صورت تحلیلی به s = 0 ادامه یابد ، در جایی که بیان متناهی باشد. عبارت فوق به این شرح ساده می شود:
<math display="block">\frac{\langle E(s) \rangle}{A}=
\frac{\hbar c^{1-s}}{4\pi^2} \sum_n \int_0^\infty 2\pi qdq
\left \vert q^2 + \frac{\pi^2 n^2}{a^2} \right\vert^{(1-s)/2},</math>
که در آن مختصات قطبی <math>q^2=k_x^2+k_y^2</math> برای تبدیل انتگرال دوگانه به یک انتگرال واحد معرفی شده است.
==منابع==
| |||