|
برای این دنباله و زودتر به ذهن خطور می‌کند.
'''== <big>انواع دیگر از تصاعد یا دنباله ها</big> ''' ==▼
----دنباله های هستند که قدر نسبت آنها در nاُمین مرحله از تفاضل گیری حاصل می گردد. ▼▲'''<big>انواع دیگر تصاعد یا دنباله ها</big>'''
▲----دنباله های هستند که قدر نسبت آنها در nاُمین مرحله از تفاضل گیری حاصل می گردد.
به‌طور مثال دنباله، ...،30-،16-،1-،0،12،10
|
|}
از آنجایی که شکل کلی جمله های این گونه از دنباله ها معادله درجه سوم می باشد، لذا برای تعیین جمله های آن از روش ماتریس و کرامر، برای حل ( ''دستگاه چهار معادله،چهار مجهول'' ) استفاده می شود. در زیر فرمولی کلی برای تعیین جمله ها، و نیز محاسبه حاصل جمع جمله ها، "سری ها" در این نوع از دنباله ها ارائه می شود.
در ادامه، روشی مبتنی بر فرمول کلی، برای تعیین جمله های دنباله،با <small>«ویژگی قدر نسبت در سومین تفاضل»</small> معرفی می گردد.
جمله های این گونه از دنباله یا تصاعد ها را می توان در سه گروه {a, b, c} دسته بندی؛ و با استفاده از فرمول کلی مربوط به آن گروه ها، جمله های دنباله را تعیین نمود .
{| class="wikitable"
|+
!
|<big>c</big><small>n</small>
|<big>,</big>...
|<big>c</big><small>3</small>
!
|<big>c</big><small>2</small>
!
|<big>c</big><small>1</small>
!
!
|<big>b</big>n
|<big>,</big>...
|<big>b</big><small>3</small>
!,
|<big>b</big><small>2</small>
!,
|<big>b</big><small>1</small>
!
!
|<big>a</big>n
|<big>,</big>...
|<big>a</big><small>3</small>
!,
|<big>a</big><small>2</small>
!,
|<big>a</big><small>1</small>
|-
|
|?
|<big>,</big>...
|16-
|
|30-
|
|10
|
|
|?
|<big>,</big>...
|35-
|
|16-
|
|12
|
|
|?
|<big>,</big>...
|38-
|
|1-
|
|0
|}
فرمول کلی برای تعیین جمله ها در سه گروه {<math>a,b,c</math>}، تشکیل دهنده یک دنباله،با <small>«ویژگی قدر نسبت در سومین تفاضل» به‌صورت زیر می باشد.</small> <small>با تفاوت اینکه، که مقادیر مجهول در معادله، برای هر یک از اعضای سه گروه {a, b, c}، از رابطه های مربوط به آن گروه بدست می آید.</small><small><math>(36m^3-288m^2+770m-688)d+(9m^2-51m+72)X+(9m^2-45m+56)Y+(3m-7)Z+(3m-8)T+k_1=k_n</math></small>مقادیر مجهول در معادله بالا، برای جمله های واقع در گروه {<math>a </math>} که به‌صورت، {<math>{a_1, a_2, a_3,...,a_n}</math> } می باشند، از فرمول های زیر بدست می آیند.
<small><math>c_1-b_1=T</math></small> , <small><math>b_1-a_1=Z</math></small> , <small><math>(a_1-2b_1+c_1)-(d/2)=Y </math></small> <small>, <math>(a_1-2b_1+c_1)+(d/2)=X</math></small> , <small><math>(n+4)/2=m</math></small>,
, <small><math>a_1=k_1</math> , <math>a_n=k_n</math> ,</small> <small><math>d </math></small> = <small>قدر نسبت دنباله , <math>a_2-3c_1+3b_1-a_1=d</math> , <math>n </math> = شماره جمله مطلوب، در گروه {<math>a </math>}</small>
به‌طور مثال: جمله چهارم از گروه {<math>a </math>} یا <math>a_4 </math> به‌صورت زیر محاسبه می شود.<small><math>(36*4^3-288*4^2+770*4-688)5+(9*4^2-51*4+72)*-11.5+(9*4^2-45*4+56)*-16.5+(3*4-7)12+(3*4-8)*-2+0=24</math></small>
مقادیر مجهول در معادله کلی بالا، برای جمله های واقع در گروه {<math>b </math>} که به‌صورت، {<math>{b_1, b_2, b_3,...,b_n}</math> } می باشند؛ از رابطه و فرمول های زیر بدست می آیند.
<small><math>a_2-c_1=T</math></small> , <small><math>c_1-b_1=Z</math></small> , <small><math>(a_1-2b_1+c_1)+(d/2)=Y </math></small> <small>, <math>(a_1-2b_1+c_1)+(3d/2)=X</math></small> , <small><math>(n+4)/2=m</math></small>, <small> </small>
,<small><math>b_1=k_1</math> , <math>b_n=k_n</math> ,</small> <math>d </math> = <small>قدر نسبت دنباله , <math>a_2-3c_1+3b_1-a_1=d</math> , <math>n </math> = شماره جمله مطلوب، در گروه {<math>b </math>}</small>
مقادیر مجهول در معادله کلی بالا، برای جمله های واقع در گروه {<math>c </math>} که به‌صورت، {<math>{c_1, c_2, c_3,...,c_n}</math> } می باشند؛ از رابطه و فرمول های زیر بدست می آیند.
<small><math>b_2-a_2=T</math></small> , <small><math>a_2-c_1=Z</math></small> , <small><math>(a_1-2b_1+c_1)+(3d/2)=Y </math></small> <small>, <math>(a_1-2b_1+c_1)+(5d/2)=X</math></small> , <small><math>(n+4)/2=m</math>,</small>
<small> , <math>c_1=k_1</math> , <math>c_n=k_n</math> ,</small> <math>d </math> = <small>قدر نسبت دنباله , <math>a_2-3c_1+3b_1-a_1=d</math> , <math>n </math> = شماره جمله مطلوب، در گروه {<math>c </math>}</small>
برای جلوگیری از محاسبات اضافی در تعیین مقادیر <small><math>T , Z , Y , X</math></small> جهت دو گروه دیگر {<math>a </math>} و {<math>b </math>} از روابط زیر استفاده می شود.
<small><math>X_a+2d=X_c</math> , <math>X_a+d=X_b</math></small> , <small><math>Y_a+2d=Y_c</math> , <math>Y_a+d=Y_b</math> .</small>
<small><math>2(T_a)-Z_a+d=T_b</math></small> , <small><math>2(T_b)-T_a+d=T_c</math></small> , <small><math>T_a=Z_b</math></small> , <small><math>T_b=Z_c</math></small> .
'''فرمول کلی برای محاسبه حاصل جمع جمله ها "<small>سری ها</small>"، در دنباله های با ویژگی تفاضل گیری چند مرتبه ای (''<small>مرحله ای</small>'') برای بدست آمدن مقدار "قدر نسبت" ، بر اساس مجموعه اعداد "استرلینگ نوع اول":''' ▼----
* ''لازم بذکر اینکه فرمول زیر بدلیل استفاده نا متعارف از سیگما در آن، یک '''فرمول صحیح ریاضی''' نبوده، و فقط برای نمایش پارامتر ها و اطلاعات سیگما در آن، برای ایجاد فرمول های اصلی محاسبه سری ها، در دنباله های،با ویژگی تفاضل گیری چند مرتبه ای (<small>مرحله ای</small>) بکار می رود.''
▲'''=== <small>فرمول کلی برای محاسبه حاصل جمع جمله ها " <small>سری ها </small>"، در دنباله های با ویژگی تفاضل گیری چند مرتبه ای ( ''<small>مرحله ای </small>'') برای بدست آمدن مقدار "قدر نسبت" ، بر اساس مجموعه اعداد "استرلینگ نوع اول" :'''</small> ===
<small><math>\sum_{t=1}^t(a_f)_t=(a_1)_1\Biggl( \frac{\textstyle \sum_{k=1,f=1}^{n,k=(f-0)}[s(n,k)*t^{(f-0)}] \displaystyle}{(f-0)!} \Biggr)+(a_2)_1\Biggl( \frac{\textstyle \sum_{k=1,f=2}^{n,k=(f-1)}[s(n,k)*t^{(f-1)}] \displaystyle}{(f-1)!} \Biggr)+(a_3)_1\Biggl( \frac{\textstyle \sum_{k=1,f=3}^{n,k=(f-2)}[s(n,k)*t^{(f-2)}] \displaystyle}{(f-2)!} \Biggr)+...+(a_f)_1\Biggl( \frac{\textstyle \sum_{k=1,f=f}^{n,k=(f-(f-1))}[s(n,k)*t^{(f-(f-1))}] \displaystyle}{(f-(f-1))!} \Biggr) </math></small> '''''شکل اصلاح شده فرمول فوق، با استفاده از نماد سیگمای تو در تو (دوبل) بشکل زیر خواهد بود.'''''
<small><math>\sum_{t=1}^t(a_f)_t=(a_1)_1\Biggl( \frac{\textstyle \sum_{k=1}^{n,k=(f-0)}\sum_{f=1}^{(f-0)}s(n,k)*t^{(f-0)} \displaystyle}{(f-0)!} \Biggr)+(a_2)_1\Biggl( \frac{\textstyle \sum_{k=1}^{n,k=(f-1)}\sum_{f=2}^{(f-1)}s(n,k)*t^{(f-1)} \displaystyle}{(f-1)!} \Biggr)+(a_3)_1\Biggl( \frac{\textstyle \sum_{k=1}^{n,k=(f-2)}\sum_{f=3}^{(f-2)}s(n,k)*t^{(f-2)} \displaystyle}{(f-2)!} \Biggr)+...+(a_f)_1\Biggl( \frac{\textstyle \sum_{k=1}^{n,k=[f-(f-1)]}\sum_{f=f}^{[f-(f-1)]}s(n,k)*t^{[f-(f-1)]} \displaystyle}{[f-(f-1)]!} \Biggr) </math></small>
در این فرمول نمادهای <small><math>(t,f,a)</math> بترتیب (نماد دنباله،دنباله "a"، مرتبه دنباله "floor" ، تعداد جمله های حاصل جمع،جمع "time" از ابتدای دنبالهدنباله،) و <math>s(n,k)</math></small> اعداد استرلینگ نوع اول می باشند. (<small>بدلیل تشابه نمادها در دنباله ها با نمادهای "مجموعه استرلینگ <math>s(n,k)</math>"، تغییراتی در نماد دنباله ها اعمال گردیده است</small>).
بطور مثال، فرمول عمومی برای محاسبه حاصل جمع <small><math>(t)</math></small> جمله اول از دنباله <small><math>(a_7)_t</math></small> و مثالی برای آن، از دنباله <small><math>(a_7)_8</math></small> بشرح زیر است.
| 