تابع توزیع تجمعی: تفاوت میان نسخهها
محتوای حذفشده محتوای افزودهشده
جزبدون خلاصۀ ویرایش |
جز ربات ردهٔ همسنگ (۳۰.۱) +تمیز (۱۴.۹ core): + رده:توابع مرتبط با توزیعهای احتمال |
||
خط ۱:
[[پرونده:Normal Distribution CDF.svg|
[[پرونده:Normal Distribution PDF.svg|
از این تعریف میتوان نتیجه گرفت که:
{{ وسطچین}}
<math> P(a< X \le b)=F_X(b)-F_X(a)</math>
{{پایان وسطچین}}
تابع توزیع تجمعی را میتوان به صورت زیر بر اساس [[تابع چگالی احتمال]] نیز تعریف کرد
{{ وسطچین}}
<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.</math><ref>Introduction to Probability
Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition</ref>
{{پایان وسطچین}}
در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:
{{ وسطچین}}
<math> \Pr(X=x) =F(x_0)-F(x_0-) ,</math>
{{پایان وسطچین}}
که در اینجا <math> F(x_0-) </math> به معنی حد چپ تابع <math> F_X(x) </math> است وقتی که <math> x </math> به <math> x_0 </math> میل میکند<ref name="en.wikipedia.org"
== خواص تابع توزیع تجمعی ==
* تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف میشود:
{{ وسطچین}}
<math display = "block">
F_X(x) =
خط ۳۵:
</gallery>
* تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل میشود :
{{ وسطچین}}
<math display="block">
F_X(x) =
خط ۵۱:
*<math>0 \le F_X(x) \le 1</math>
*<math>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0 </math>
*<math>\lim_{x\to +\infty}F(x)=1</math><ref name="en.wikipedia.org"
* اگر <math>x_1 \le x_2</math> باشد، آنگاه :
<math display="block">F_X(x_1) \le F_X(x_2)</math>
*<math>
P(X
</math>
*<math>P(x_1<x \le x_2)
خط ۶۱:
</math>
* اگر M میانه دادهها باشد داریم :
{{ وسطچین}}
<math display="block">
F_X(M) =
خط ۷۲:
</math>
{{پایان وسطچین}}
و این همان تعریف میانه است که نیمی از دادهها مقداری کمتر از M دارند.<ref>{{یادکرد وب |url=https://www.math.vt.edu/people/qlfang/class_home/Lesson2021.pdf |title=نسخه آرشیو شده |accessdate=۲۸ دسامبر ۲۰۱۸ |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171031090045/http://www.math.vt.edu/people/qlfang/class_home/Lesson2021.pdf |archivedate=۳۱ اکتبر ۲۰۱۷ |dead-url=yes
== مثال ==
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوستهاست که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:<ref>{{یادکرد وب |url=https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/ |title=نسخه آرشیو شده |accessdate=28 دسامبر 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20181228174800/https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/ |archivedate=28 دسامبر 2018 |dead-url=yes
{{ وسطچین}}
<math display="block">
f(x) =
\begin {cases}
0 & x\le -1 \\ \\
x + 1 & -1 <
1 - x & 0 <
0 & x \ge 1
\end{cases}
خط ۹۳:
</gallery>
با انتگرالگیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست میآوریم و خواهیم داشت:
{{ وسطچین}}
<math display="block">
F(x) =
\begin {cases}
0 & x\le -1 \\ \\
\frac{1}{2}(x + 1)^{2} & -1 <
1-\frac{(1-x)^2}{2} & 0 <
1 & x \ge 0
\end{cases}
خط ۱۱۳:
=== توزیع طبیعی استاندارد ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع طبیعی|توزیع طبیعی استاندارد]] برای {{math|ℝ}} <math>x \in </math> به شکل زیر تعریف میشود :
{{ وسطچین}}
<math display="block">
f(x) =
خط ۱۲۴:
{{پایان وسطچین}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{ وسطچین}}
<math display = "block">
F(x) =
خط ۱۴۵:
=== توزیع پواسون ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع پواسون]] برای {1,2,3,...} <math> k \in </math> و <math>\lambda \in (0,\infty)</math> به شکل زیر تعریف میشود:
{{ وسطچین}}
<math display="block">
f(x) =
{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}
</math>
{{ وسطچین}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{پایان وسطچین}}
خط ۱۷۰:
=== توزیع نمایی ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع نمایی]] برای <math>x \ge 0</math> به شکل زیر تعریف میشود :
{{ وسطچین}}
<math display ="block">
f(x) =
خط ۱۷۷:
{{پایان وسطچین}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{ وسطچین}}
<math display = "block">
F(x) =
خط ۱۹۴:
== تابع توزیع تجمعی برای توابع توام ==
تابع توزیع تجمعی برای[[توزیع احتمال توأم]] به این صورت تعریف میشود:
{{ وسطچین}}
<math display="block">
F_{X_1,X_2,...,X_n}
خط ۲۰۲:
{{پایان وسطچین}}
با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره <math>f_{XY}(x,y) </math> به این شکل خواهد بود:
{{ وسطچین}}
<math display="block">
F_{XY}
خط ۲۱۷:
(x_1,x_2,....,x_n) =1 </math>
*<math>
P(x_1 <
F_
{XY}
خط ۲۲۹:
{{پانویس|چپچین=بله|۲}}
[[رده:توابع مرتبط با توزیعهای احتمال]]
[[رده:توزیعهای احتمالات]]
[[رده:نظریه توزیعهای احتمالی]]
|