تفاوت میان نسخه‌های «تابع توزیع تجمعی»

جز
جز
[[پرونده:Normal Distribution CDF.svg|thumbبندانگشتی|300px|تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .]]
[[پرونده:Normal Distribution PDF.svg|thumbبندانگشتی|300px|تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..]]'''تابع توزیع تجمعی''' {{به انگلیسی|Cumulative distribution function}} یا '''تابع توزیع انباشتی''' تابعی است غیر صفر و هم نوای صعودی که [[برد (ریاضی)|برد]] آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه [[متغیر تصادفی]] X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد،<ref name="en.wikipedia.org">http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cumulative_distribution_function&oldid=437556047</ref> یعنی <math>x \to F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)</math><ref>Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, {{ISBN|0-471-60090-3|en}}.</ref>
 
از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:
{{ وسط‌چین}}
<math> P(a< X \le b)=F_X(b)-F_X(a)</math>
{{پایان وسط‌چین}}
تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس [[تابع چگالی احتمال]] نیز تعریف کرد
{{ وسط‌چین}}
<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.</math><ref>Introduction to Probability
Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition</ref>
{{پایان وسط‌چین}}
در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:
{{ وسط‌چین}}
<math> \Pr(X=x) =F(x_0)-F(x_0-) ,</math>
{{پایان وسط‌چین}}
که در اینجا <math> F(x_0-) </math> به معنی حد چپ تابع <math> F_X(x) </math> است وقتی که <math> x </math> به <math> x_0 </math> میل می‌کند<ref name="en.wikipedia.org" />
 
== خواص تابع توزیع تجمعی ==
* تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:
{{ وسط‌چین}}
<math display = "block">
F_X(x) =
</gallery>
* تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :
{{ وسط‌چین}}
<math display="block">
F_X(x) =
*<math>0 \le F_X(x) \le 1</math>
*<math>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0 </math>
*<math>\lim_{x\to +\infty}F(x)=1</math><ref name="en.wikipedia.org" />
* اگر <math>x_1 \le x_2</math> باشد، آنگاه :
<math display="block">F_X(x_1) \le F_X(x_2)</math>
*<math>
P(X >x) = 1- F_X(x)
</math>
*<math>P(x_1<x \le x_2)
</math>
* اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :
{{ وسط‌چین}}
<math display="block">
F_X(M) =
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.<ref>{{یادکرد وب |url=https://www.math.vt.edu/people/qlfang/class_home/Lesson2021.pdf |title=نسخه آرشیو شده |accessdate=۲۸ دسامبر ۲۰۱۸ |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171031090045/http://www.math.vt.edu/people/qlfang/class_home/Lesson2021.pdf |archivedate=۳۱ اکتبر ۲۰۱۷ |dead-url=yes }}</ref>
 
== مثال ==
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:<ref>{{یادکرد وب |url=https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/ |title=نسخه آرشیو شده |accessdate=28 دسامبر 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20181228174800/https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/ |archivedate=28 دسامبر 2018 |dead-url=yes }}</ref>
{{ وسط‌چین}}
<math display="block">
f(x) =
\begin {cases}
0 & x\le -1 \\ \\
x + 1 & -1 < x \le 0\\ \\
1 - x & 0 < x < 1 \\ \\
0 & x \ge 1
\end{cases}
</gallery>
با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:
{{ وسط‌چین}}
<math display="block">
F(x) =
\begin {cases}
0 & x\le -1 \\ \\
\frac{1}{2}(x + 1)^{2} & -1 < x \le 0\\ \\
1-\frac{(1-x)^2}{2} & 0 < x < 1 \\ \\
1 & x \ge 0
\end{cases}
=== توزیع طبیعی استاندارد ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع طبیعی|توزیع طبیعی استاندارد]] برای {{math|ℝ}} <math>x \in </math> به شکل زیر تعریف می‌شود :
{{ وسط‌چین}}
<math display="block">
f(x) =
{{پایان وسط‌چین}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{ وسط‌چین}}
<math display = "block">
F(x) =
=== توزیع پواسون ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع پواسون]] برای {1,2,3,...} <math> k \in </math> و <math>\lambda \in (0,\infty)</math> به شکل زیر تعریف می‌شود:
{{ وسط‌چین}}
<math display="block">
f(x) =
{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}
</math>
{{ وسط‌چین}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{پایان وسط‌چین}}
=== توزیع نمایی ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع نمایی]] برای <math>x \ge 0</math> به شکل زیر تعریف می‌شود :
{{ وسط‌چین}}
<math display ="block">
f(x) =
{{پایان وسط‌چین}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{ وسط‌چین}}
<math display = "block">
F(x) =
== تابع توزیع تجمعی برای توابع توام ==
تابع توزیع تجمعی برای[[توزیع احتمال توأم]] به این صورت تعریف می‌شود:
{{ وسط‌چین}}
<math display="block">
F_{X_1,X_2,...,X_n}
{{پایان وسط‌چین}}
با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره <math>f_{XY}(x,y) </math> به این شکل خواهد بود:
{{ وسط‌چین}}
<math display="block">
F_{XY}
(x_1,x_2,....,x_n) =1 </math>
*<math>
P(x_1 < x \le x_2 , y_1 < y \le y_2) =
F_
{XY}
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}
 
[[رده:توابع مرتبط با توزیع‌های احتمال]]
[[رده:توزیع‌های احتمالات]]
[[رده:نظریه توزیع‌های احتمالی]]
۴٬۴۱۱٬۲۶۸

ویرایش