فاکتوریل: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز یادکرد فرهنگستان اضافه شد. |
بدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۴۷:
== تعریف ==
تابع فاکتوریل به صورت زیر تعریف شده:
{{وسط‌چین}}
<math>
n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N} .
خط ۵۷:
<math>
</math>
{{پایان}}
این تابع به وسیله [[تابع بازگشتی|توابع بازگشتی]] به صورت زیر تعریف می‌شود:
:<math> n! = \begin{cases}
خط ۶۹:
'''مثال'''
{{وسط‌چین}}
<math>
5 ! = 1\times 2\times 3 \times 4\times 5 = 120
خط ۷۸:
</math>
{{پایان}}
هر چند توضیحات فوق در رابطه با فاکتوریل کاملاً صحیح است اما نمی‌تواند توضیح دهد که چرا فاکتوریل صفر برابر با یک است؛ یا اینکه آیا اعداد اعشاری یا منفی هم فاکتوریل دارند یا خیر؟ در واقع فاکتوریل تعریف جامع‌تری دارد.
خط ۱۰۴:
در سطحی بالاتر تعریفی که برای فاکتوریل ارائه شده و می‌توان با استفاده از آن فاکتوریل را برای تمام اعداد به جز اعداد صحیح منفی محاسبه کرد. با استفاده از تعریف تابع گاما خواهیم داشت:
{{وسط‌چین}}
<math>
n!=\int_{0}^{\infty} t^n e^{-t}\, dt
</math><ref>[[تابع گاما|Gamma function]]</ref>
{{پایان}}
با این تعریف از فاکتوریل علاوه‌بر اعداد طبیعی، می‌توان فاکتوریل را برای تمام اعداد به دست آورد. نکته دیگر در مورد اعداد صحیح منفی است که مقدار فاکتوریل برای آن‌ها به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.
خط ۱۲۱:
:<math>n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
:<math>n!=\Gamma(n+1).\,</math>
:<math>\begin{align}n! = \Pi(n) &= \prod_{k = 1}^\infty \left(\frac{k+1}{k}\right)^n\!\!\frac{k}{n+k} = \left[
:<math>z!=\sum_{n=0}^{\infty} g_n z^n.</math>
:<math>(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac {_{2k}P_k} {2^k} = \frac {{(2k)}^{\underline k}} {2^k}.</math>
| |||