عملگر دل: تفاوت میان نسخه‌ها

|واژهٔ مصوب= عملگر دل

|حوزه= ریاضی

| واژهٔ غیرفارسی با حروف زبان اصلی = del operator

|زبان واژهٔ غیرفارسی = انگلیسی

|دفتر= پنجم

|بخش= لاتین

|سرواژه= del operator

}}</ref> {{به انگلیسی|del operator}} را بر یک [[تابع]] [[بعد|یک‌بعدی]] اعمال کنیم، بیانگر [[مشتق]] استاندارد آن تابع مطابق آنچه در [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] تعریف شده‌است خواهد بود. اگر این عملگر بر یک میدان (تابعی که دارای چندین بُعد است) اعمال شود، دل ممکن است بیانگر [[شیو (حسابان)|شیو]] (شدیدترین شیب محلی) یک [[میدان اسکالر]] (یا گاهی [[میدان برداری]] مثلاً در [[معادلات ناویه-استوکس]])، [[دیورژانس]] یک میدان برداری، یا [[تاو (ریاضی)|تاو]] یک میدان برداری باشد. اینکه دل بیانگر کدامیک از این اعمال است بستگی به نوع اعمالش دارد.

 

== تعریف ==

:<math>\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}</math>

که در آن <math>\{\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}},\mathbf{\hat{z}} \} </math> بردارهای یکه در جهت‌های مربوط هستند.

 

:<math> \nabla = \sum_{i=1}^n \hat e^i {\partial \over \partial x_i}</math>

که در آن <math>\{ \hat e^i: 1\leq i\leq n\}</math> استاندارد پایهٔ<ref>[[:en:Standard basis|Standard basis]]</ref> این فضا است. به صورت فشرده‌تر می‌توان این فرمول را با استفاده از [[قرارداد جمع‌زنی اینشتین]] به صورتِ

<math>\operatorname{grad}f = {\partial f \over \partial x} \vec e_x + {\partial f \over \partial y} \vec e_y + {\partial f \over \partial z} \vec e_z=\nabla f</math>

 

 

 

<math>\nabla(f g) = f \nabla g + g \nabla f</math>

 

 

<math>\nabla (\vec u \cdot \vec v) = (\vec u \cdot \nabla) \vec v + (\vec v \cdot \nabla) \vec u + \vec u \times (\nabla \times \vec v) + \vec v \times (\nabla \times \vec u)</math>

<math>\operatorname{div}\vec v = {\partial v_x \over \partial x} + {\partial v_y \over \partial y} + {\partial v_z \over \partial z} = \nabla \cdot \vec v </math>

 

 

جایی که میدان برداری دیورژانس مثبتی دارد نمایانگر یک چشمه است.

و جایی که میدان برداری واگرایی منفی دارد نمایانگر وجود یک چاه در آن نقطه است.

 

 

<math>\nabla \cdot (f \vec v) = f (\nabla \cdot \vec v) + \vec v \cdot (\nabla f)</math>

 

 

<math>\nabla \cdot (\vec u \times \vec v) = \vec v \cdot (\nabla \times \vec u) - \vec u \cdot (\nabla \times \vec v)</math>

<math>\operatorname{curl}\vec v = \left( {\partial v_z \over \partial y} - {\partial v_y \over \partial z} \right) \vec e_x + \left( {\partial v_x \over \partial z} - {\partial v_z \over \partial x} \right) \vec e_y + \left( {\partial v_y \over \partial x} - {\partial v_x \over \partial y} \right) \vec e_z = \nabla \times \vec v</math>

 

 

بدیهی است میدانی که در آن چرخش وجود نداشته باشد تاو صفر دارد.

<math>\nabla \times \vec v = \left|\begin{matrix} \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\[2pt] {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\[2pt] v_x & v_y & v_z \end{matrix}\right|</math>

 

 

<math>\nabla \times (f \vec v) = (\nabla f) \times \vec v + f (\nabla \times \vec v)</math>

 

 

<math>\nabla \times (\vec u \times \vec v) = \vec u \, (\nabla \cdot \vec v) - \vec v \, (\nabla \cdot \vec u) + (\vec v \cdot \nabla) \, \vec u - (\vec u \cdot \nabla) \, \vec v</math>

<math>\Delta = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2</math>

 

 

جستارهای وابسته

== منابع ==

{{پانویس}}

 

{{خرد|ریاضی}}