درستی (منطق): تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
تغییر مسیر
 
خاقانی.88 (بحث | مشارکت‌ها)
بدون خلاصۀ ویرایش
خط ۱:
به نام معبود
#تغییرمسیر [[تندرستی]]
صحت
(برگرفته از ویکی پدیا، دایره المعارف رایگان)
http://en.wikipedia.org/wiki/Soundness
 
استاد درس: آقای دکتر قدیری
مترجم: مریم خاقانی اصفهانی
دانشجوی درس ساختمان گسسته
نیم سال دوم سال 88-89
دانشگاه اصفهان
 
در منطق ریاضی، یک سامانه ی منطقی دارای ویژگی صحت است، اگر وتنها اگر قواعد استنباطی آن فقط فرمول هایی را ثابت کند که به لحاظ معناشناسی آن معتبر باشد. در بیشتر موارد، آنچه در این باره مهم است این است که قاعده های آن درست باقی بمانند ، اما به طور کلی همیشه اینطور نیست. کلمه ی soundness از کلمه ی المانی ‘sund’ از Gesundheit گرفته شده، به معنای سلامتی. لذا برای اینکه بگوییم یک استدلال صحیح است به معنای این است که ، طبق ریشه یابی، بگوییم آن استدلال سالم است.
• محتوا
• درباره ی استدلال ها
• درباره ی سامانه های منطقی
• صحت
• صحت قوی
• صحت محاسباتی
• رابطه ی موضوع با کمال
• مرجع ها
 
درباره ی استدلال ها
یک استدلال صحیح است اگر وتنها اگر
1.آن استدلال معتبر باشد.
2. همه ی فرضیه های آن درست باشد.
برای مثال،
همه ی مردان فناپذیرند(از بین می روند).
ساکرتس یک مرد است.
بنابراین، ساکرتس فناپذیر است.
این استدلال معتبر است (چون نتیجه گیری، بر مبنای آن مقدمه، درست است، یعنی این نتیجه گیری پیرو و دنباله ی آن مقدمه است) وچون آن مقدمه در واقع درست است، استدلال صحیح خواهد بود.
استدلال زیر معتبر است اما صحیح نیست:
هر موجود زنده ای که بال داشته باشد می تواند پرواز کند.
پنگوئن ها بال دارند.
بنابر این پنگوئن ها می توانند پرواز کنند.
در واقع چون مقدمه ی اول (صغری) نادرست است، این استدلال، با وجود اینکه معتبر است، صحیح نیست.
 
درباره ی سامانه ی منطقی
صحت یکی از بنیادی ترین ویژگی ها در منطق ریاضی است.
ویژگی صحت، دلیل اولیه را برای محاسبه ی یک سامانه ی منطقی مطلوب
تامین می کند.
ویژگی کمال به این معناست که هر گونه اعتبار (درستی) قابل اثبات است.در کل این ویژگی ها میرساند که فقط وفقط درستی ها قابل اثبات هستند. بیشتر استدلال هایی که از طریق صحت صورت می پذیرند، بدیهی هستند. برای مثال، در یک سامانه ی بدیهی، استدلال از طریق صحت، همان تحقیق و بررسی اصول وقاعده های کلی است و اینکه قاعده های استنباط، اعتبار را حفظ کنند(یا ویژگی ضعیف تر، که همان درستی است). بیشتر سامانه های بدیهی فقط قاعده ی modus ponens را دارند(و گاهی اوقات جانشانی)، لذا تنها بررسی اعتبار قاعده ی کلی و یک قاعده ی استنباط نیاز است. ویژگی های صحت به دو نوع تقسیم می شوند:صحت قوی و ضعیف، که اولی مورد خاصی از دومی است.
 
صحت
صحت یک سامانه ی استقرائی، نوعی ویژگی است که هر جمله ای که در آن سامانه ی استقرائی قابل اثبات است، هم چنین، با توجه به تمام توصیف ها و الگو های تئوری معنائی برای زبانی که بر اساس آن این تئوری پایره گذاری شده، درست باشد.
در نمادها، جایی که S سامانه ی استقرایی است، L آن زبان با تئوری معنایی اش، و P یک جمله از L : اگر ⊢S P ، آن گاه هم چنین ⊨L P.
به بیان دیگر، یک سامانه صحیح است اگر هر یک از قضیه هایش(یعنی فرمول ها از مجموعه ی تهی قابل اثبات باشد) در هر ساختازی از زبان معتبر باشند.
 
صحت قوی
صحت قوی یک سامانه ی استقرایی ویژگی است که هر جمله ی P از زبانی که سامانه ی استقرایی بر آن پایه گذاری شده و از یک مجموعه ی Г از جملات آن زبان گرفته شده نیز یک نتیجه ی منطقی از آن مجموعه، در جهتی که هر الگویی که تمام اعضای Γ را درست می کند، P را نیز درست خواهد کرد. در نمادها جایی که Γ یک سامانه از جملات Γ است: اگر Γ ⊢S P ، آن گاه همچنین Γ ⊨L P. توجه داشته باشید که در بیان صحت قوی، هنگامی که Γ تهی است، بیان یک صحت ضعیف را خواهیم داشت.
 
صحت محاسباتی
اگر T یک تئوری باشد که اجزاء مباحثه ی آن بتوانند به عنوان اعداد طبیعی تفسیر شوند، ما می گوییم T به شیوه ی محاسباتی صحیح است اگر تمام قضیه های T حقیقتا در باره ی استاندارد اعداد صحیح ریاضی درست باشد. برای اطلاعات بیشتر ، به ω-consistent theory مراجعه کنید.
رابطه موضوع با کمال
ویژگی صحت مخالف ویژگی معنایی کمال است. یک سامانه ی استقرایی همراه با یک تئوری معنایی به طور قوی کامل است اگر هر جمله P که یک نتیجه ی معنایی از یک مجموعه جملات Γ است، بتواند در آن سامانه استقرایی از آن مجموعه ناشی شود. در نمادها: هرگاه Γ ⊨ P آن گاه همچنین Γ ⊢ P .کمال نوع اولیه ی منطق برای اولین بار توسط Gödel بنا شد، با وجود اینکه برخی از نتایج در آثار قدیمی تر Skolem وجود داشت.
به طور غیر رسمی، قضیه ی صحت از یک سامانه ی استقرایی نشان دهنده ی این است که همه ی جملات قابل اثبات درست هستند.
حالت های کمال که همگی جملات درستی هستند، قابل اثباتند.
اولین قضیه ی کمال Gödel نشان می دهد که برای زبان هایی که برای انجام دادن میزان مشخصی از محاسبات مناسبند، نمی تواند سامانه ی استقرایی موثری وجود داشته باشد که با در نظر داشتن تفسیر مورد نیاز از نماد پردازی از آن زبان، کامل باشد.
بنابراین، همه ی سامانه های استقرایی در این مورد خاص از کمال ، که کلاس الگوها (تا مکتب همریختی) محصور به نوع مورد نظر آن است، کامل نیستند.
اثبات اولیه و آغازین کمال برای همه ی الگوهای کلاسیک، نه فقط برخی از کلاس های فرعی درست انواع مورد نیاز، به کار می آید.
 
مرجع ها
• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0.
• Irving Copi. Symbolic Logic, Vol. 5, Macmillian Publishing Co., 1979.
• Boolos, Burgess, Jeffrey. Computability and Logic, Vol. 4, Cambridge, 2002.
 
مقالات مرتبط
محیط های آکادمیک Argumentation theory • Axiology • Critical thinking • Computability theory • Formal semantics • History of logic • Informal logic • Logic in computer science • Mathematical logic • Mathematics • Metalogic • Metamathematics • Model theory • Philosophical logic • Philosophy • Philosophy of logic • Philosophy of mathematics • Proof theory • Set theory
 
جنبه های بنیادین Abduction • Analytic truth • Antinomy • A priori • Deduction • Definition • Description • Entailment • Induction • Inference • Logical consequence • Logical form • Logical implication • Logical truth • Name • Necessity • Meaning • Paradox • Possible world • Presupposition • Probability • Reason • Reasoning • Reference • Semantics • Statement • Syntax • Truth • Truth value • Validity
 
 
 
منطق فلسفی
تفکر نقادانه ومنطق غیر رسمی Analysis • Ambiguity • Belief • Credibility • Evidence • Explanation • Explanatory power • Fact • Fallacy • Inquiry • Opinion • Parsimony • Premise • Propaganda • Prudence • Reasoning • Relevance • Rhetoric • Rigor • Vagueness
 
تئوری های استقرایی Constructivism • Dialetheism • Fictionalism • Finitism • Formalism • Intuitionism • Logical atomism • Logicism • Nominalism • Platonic realism • Pragmatism • Realism
 
 
 
Metalogic and Metamathematics
 
 
 
 
Mathematical logic
 
عمومی Formal language • Formation rule • Formal system • Deductive system • Formal proof • Formal semantics • Well-formed formula • Set • Element • Class • Classical logic • Axiom • Natural deduction • Rule of inference • Relation • Theorem • Logical consequence • Axiomatic system • Type theory • Symbol • Syntax • Theory
 
منطق روایی Proposition • Inference • Argument • Validity • Cogency • Syllogism • Square of opposition • Venn diagram
 
 
Propositional logic and Boolean logic
Boolean functions • Propositional calculus • Propositional formula • Logical connectives • Quantifiers • Truth tables
 
Predicate
First-order • Quantifiers • Predicate • Second-order • Monadic predicate calculus •
 
Set theory
Set • Empty set • Enumeration • Extensionality • Finite set • Function • Subset • Power set • Countable set • Decidable set • Domain • Range • Ordered pair • Uncountable set
 
تئوری الگو Model • Interpretation • Logical validity • Non-standard model • Normal model • Semantic consequence • Truth value •
 
تئوری اثبات Formal proof • Deductive system • Formal system • Formal theorem • Syntactic consequence • Syntax • Transformation rules
 
Computability theory
Recursion • Recursively enumerable set • Decision problem • Church–Turing thesis • Computable function • Primitive recursive function •
 
 
 
منطق غیر کلاسیک
منطق کمکی Alethic • Axiologic • Deontic • Doxastic • Epistemic • Temporal
 
Intuitionism
Intuitionistic logic • Constructive analysis • Heyting arithmetic • Intuitionistic type theory • Constructive set theory •
 
منطق فازی Degree of truth • Fuzzy rule • Fuzzy set • Fuzzy finite element • Fuzzy set operations •
 
Substructural logic
Structural rule • Relevance logic • Linear logic
 
Paraconsistent logic
Dialetheism
 
 
 
Logicians
 
 
 
 
[show]
Lists
Topics Outline of logic • Index of logic articles • Mathematical logic • Boolean algebra • Set theory
 
انواع دیگر Logicians • Rules of inference • Paradoxes • Fallacies • Logic symbols
 
 
 
 
 
متن انگلیسی مقاله:
Soundness
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematical logic, a logical system has the soundness property if and only if its inference rules prove only formulas that are valid with respect to its semantics. In most cases, this comes down to its rules having the property of preserving truth, but this is not the case in general. The word derives from the Germanic 'Sund' as in Gesundheit, meaning health. Thus to say that an argument is sound means, following the etymology, to say that the argument is healthy.
Contents
[hide]
• 1 Of arguments
• 2 Of logical systems
o 2.1 Soundness
o 2.2 Strong soundness
o 2.3 Arithmetic soundness
• 3 Relation to completeness
• 4 References
 
[edit] Of arguments
An argument is sound if and only if
1. The argument is valid.
2. All of its premises are true.
For instance,
All men are mortal.
Socrates is a man.
Therefore, Socrates is mortal.
The argument is valid (because the conclusion is true based on the premises, that is, that the conclusion follows the premises) and since the premises are in fact true, the argument is sound.
The following argument is valid but not sound:
All organisms with wings can fly.
Penguins have wings.
Therefore, penguins can fly.
Since the first premise is actually false, the argument, though valid, is not sound.
[edit] Of logical systems
Soundness is among the most fundamental properties in mathematical logic. A soundness property provides the initial reason for counting a logical system as desirable. The completeness property means that every validity (truth) is provable. Together they imply that all and only validities are provable. Most proofs of soundness are trivial.[citation needed] For example, in an axiomatic system, proof of soundness amounts to verifying the validity of the axioms and that the rules of inference preserve validity (or the weaker property, truth). Most axiomatic systems have only the rule of modus ponens (and sometimes substitution),[citation needed] so it requires only verifying the validity of the axioms and one rule of inference. Soundness properties come in two main varieties: weak and strong soundness, of which the former is a special case of the latter.
[edit] Soundness
Soundness of a deductive system is the property that any sentence that is provable in that deductive system is also true on all interpretations or models of the semantic theory for the language upon which that theory is based. In symbols, where S is the deductive system, L the language together with its semantic theory, and P a sentence of L: if ⊢S P, then also ⊨L P. In other words, a system is sound if each of its theorems (i.e. formulas provable from the empty set) is valid in every structure of the language.
[edit] Strong soundness
Strong soundness of a deductive system is the property that any sentence P of the language upon which the deductive system is based that is derivable from a set Γ of sentences of that language is also a logical consequence of that set, in the sense that any model that makes all members of Γ true will also make P true. In symbols where Γ is a set of sentences of L: if Γ ⊢S P, then also Γ ⊨L P. Notice that in the statement of strong soundness, when Γ is empty, we have the statement of weak soundness.
[edit] Arithmetic soundness
If T is a theory whose objects of discourse can be interpreted as natural numbers, we say T is arithmetically sound if all theorems of T are actually true about the standard mathematical integers. For further information, see ω-consistent theory
[edit] Relation to completeness
The converse of the soundness property is the semantic completeness property. A deductive system with a semantic theory is strongly complete if every sentence P that is a semantic consequence of a set of sentences Γ can be derived in the deduction system from that set. In symbols: whenever Γ ⊨ P, then also Γ ⊢ P. Completeness of first-order logic was first explicitly established by Gödel, though some of the main results were contained in earlier work of Skolem.
Informally, a soundness theorem for a deductive system expresses that all provable sentences are true. Completeness states that all true sentences are provable.
Gödel's first incompleteness theorem shows that for languages sufficient for doing a certain amount of arithmetic, there can be no effective deductive system that is complete with respect to the intended interpretation of the symbolism of that language. Thus, not all sound deductive systems are complete in this special sense of completeness, in which the class of models (up to isomorphism) is restricted to the intended one. The original completeness proof applies to all classical models, not some special proper subclass of intended ones.
[edit] References
Logic portal
 
• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0.
• Irving Copi. Symbolic Logic, Vol. 5, Macmillian Publishing Co., 1979.
• Boolos, Burgess, Jeffrey. Computability and Logic, Vol. 4, Cambridge, 2002.
[show]
v • d • e
Logic
 
[show]
Related articles
Academic areas Argumentation theory • Axiology • Critical thinking • Computability theory • Formal semantics • History of logic • Informal logic • Logic in computer science • Mathematical logic • Mathematics • Metalogic • Metamathematics • Model theory • Philosophical logic • Philosophy • Philosophy of logic • Philosophy of mathematics • Proof theory • Set theory
 
Foundational concepts Abduction • Analytic truth • Antinomy • A priori • Deduction • Definition • Description • Entailment • Induction • Inference • Logical consequence • Logical form • Logical implication • Logical truth • Name • Necessity • Meaning • Paradox • Possible world • Presupposition • Probability • Reason • Reasoning • Reference • Semantics • Statement • Syntax • Truth • Truth value • Validity
 
 
 
[show]
Philosophical logic
 
Critical thinking and Informal logic
Analysis • Ambiguity • Belief • Credibility • Evidence • Explanation • Explanatory power • Fact • Fallacy • Inquiry • Opinion • Parsimony • Premise • Propaganda • Prudence • Reasoning • Relevance • Rhetoric • Rigor • Vagueness
 
Theories of deduction
Constructivism • Dialetheism • Fictionalism • Finitism • Formalism • Intuitionism • Logical atomism • Logicism • Nominalism • Platonic realism • Pragmatism • Realism
 
 
 
[show]
Metalogic and Metamathematics
 
 
 
 
[show]
Mathematical logic
 
General Formal language • Formation rule • Formal system • Deductive system • Formal proof • Formal semantics • Well-formed formula • Set • Element • Class • Classical logic • Axiom • Natural deduction • Rule of inference • Relation • Theorem • Logical consequence • Axiomatic system • Type theory • Symbol • Syntax • Theory
 
Traditional logic
Proposition • Inference • Argument • Validity • Cogency • Syllogism • Square of opposition • Venn diagram
 
Propositional logic and Boolean logic
Boolean functions • Propositional calculus • Propositional formula • Logical connectives • Quantifiers • Truth tables
 
Predicate
First-order • Quantifiers • Predicate • Second-order • Monadic predicate calculus •
 
Set theory
Set • Empty set • Enumeration • Extensionality • Finite set • Function • Subset • Power set • Countable set • Decidable set • Domain • Range • Ordered pair • Uncountable set
 
Model theory
Model • Interpretation • Logical validity • Non-standard model • Normal model • Semantic consequence • Truth value •
 
Proof theory
Formal proof • Deductive system • Formal system • Formal theorem • Syntactic consequence • Syntax • Transformation rules
 
Computability theory
Recursion • Recursively enumerable set • Decision problem • Church–Turing thesis • Computable function • Primitive recursive function •
 
 
 
[show]
Non-classical logic
 
Modal logic
Alethic • Axiologic • Deontic • Doxastic • Epistemic • Temporal
 
Intuitionism
Intuitionistic logic • Constructive analysis • Heyting arithmetic • Intuitionistic type theory • Constructive set theory •
 
Fuzzy logic
Degree of truth • Fuzzy rule • Fuzzy set • Fuzzy finite element • Fuzzy set operations •
 
Substructural logic
Structural rule • Relevance logic • Linear logic
 
Paraconsistent logic
Dialetheism
 
 
 
[show]
Logicians
 
 
 
 
[show]
Lists
Topics Outline of logic • Index of logic articles • Mathematical logic • Boolean algebra • Set theory
 
Other Logicians • Rules of inference • Paradoxes • Fallacies • Logic symbols
 
 
 
 
 
 
Retrieved from "http://en.wikipedia.org/wiki/Soundness"
Categories: Model theory | Proof theory | Logic | Deduction