دنباله: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش |
بازنویسی - اصلاح اشتباهات - حذف موضوعات نامرتبط - خلاصه - حذف بخش پیدا کردن جملهٔ عمومی دنباله که هیچ پشتوانهٔ علمی‌ای نداشته و کاربردی به جز کنکور نیز نداشت برچسب‌ها: برداشتن بخش بزرگی از صفحه ویرایشگر دیداری |
||
خط ۱:
{{کاربردهای دیگر}}
{{حق تکثیر مشکوک|تاریخ=دسامبر ۲۰۱۶}}
در [[ریاضیات]]، یک '''دنباله'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=دنبالهٔ کران‌دار|بیگانه=bounded sequence|بیگانه در فارسی=|حوزه=ریاضی|دفتر=سوم|بخش=فارسی|سرواژه=دنبالهٔ کران‌دار}}</ref> {{به انگلیسی|Sequence}}
مشابه یک [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]]، دنباله شامل چند عضو (یا جمله) است. تعداد اعضای یک دنباله (شاید نامتناهی) «طول دنباله» نامیده می‌شود. برخلاف یک [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]]، در یک دنباله، عناصر مشابه می‌توانند چندین بار در محل‌های مختلف یک دنباله پدیدار شوند و ترتیب آنها اهمیت دارد.
به عنوان مثال، <math>\langle 5, 3, 3, 8 \rangle</math> یک دنباله است که به ترتیب از ۵ و ۳ و ۳ و ۸ تشکیل شده و با <math>\langle 5, 5, 3, 8 \rangle</math> یا <math>\langle 3, 5, 3, 8 \rangle</math> یکسان نیست.
به مکانی که یک عضو در یک دنباله قرار دارد «اندیس»ِ آن عضو می‌گویند<ref name=":0" />، به عنوان مثال ۸، چهارمین عضو دنبالهٔ فوق است پس اندیس آن، ۴ است. اندیس اوّلین عضو دنباله را معمولاً ۱ تعریف می‌کنند. nـُمین عضو یک دنباله مانند <math>a</math> را به صورت <math>a_n</math> نمایش می‌دهند.
به دنباله‌ای به طول <math>n</math>، یک [[چندتایی مرتب|n-تایی مرتّب]] (tuple) نیز گفته می‌شود<ref>{{Cite journal|date=2021-01-06|title=Tuple|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tuple&oldid=998770422|journal=Wikipedia|language=en}}</ref>.[[پرونده:Cauchy sequence illustration2.png|چپ|بندانگشتی|250px|یک دنباله نامتناهی از [[اعداد حقیقی]] (به‌رنگ آبی). این دنباله نه صعودی است و نه نرولی، نه همگرا است و نه [[قضیه کوشی|کوشی]]، ولی کران‌دار است.]]
در [[نظریه تحلیلی اعداد|نظریّهٔ تحلیلی اعداد]]، به دنباله‌ای که اعضای آن [[عدد حقیقی|حقیقی]] یا [[عدد مختلط|مختلط]] باشند [[تابع حسابی]] یا دنبالهٔ حقیقی می‌گویند. در [[علوم رایانه]]، [[رشته (علوم رایانه)|رشته]] دنباله‌ای از [[نویسه (رایانه)|نویسه‌ها]] است.
== تعریف ==
در بیشتر منابع، اندیس‌های دنباله باید شامل تمام [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] باشند (دنباله نامتناهی باشد)<ref name=":1">{{یادکرد کتاب|عنوان=حسابان (اپوستول) Calculus Vol. 1 (2nd ed.) (Tom M. Apostol)|فصل=فصل ۱۰|شابک=978-0-471-00005-1}}</ref> یا این که می‌توانند [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] کوچکتر از <math>n</math> باشد (دنباله [[مجموعه متناهی|متناهی]] باشد)؛ امّا در بعضی موارد (بر اساس نیاز) این تعریف تعمیم داده می‌شود. به این صورت که اندیس‌ها می‌توانند هر [[بازه|بازه‌ای]] از [[عدد صحیح|اعداد صحیح]] باشد<ref name=":0" />.
=== تعریف دقیق دنباله ===
در [[نظریه مجموعه‌ها|نظریّهٔ مجموعه‌ها]]، دنباله به صورت [[تابع|تابعی]] تعریف می‌شود که [[دامنه تابع|دامنهٔ]] آن [[اعداد طبیعی]] باشد<ref name=":1" />: <math>f:\mathbb{N}\to A</math>
=== نمایش ===
برای نمایش دنباله‌ها از <math>\langle \rangle</math> استفاده می‌شود. برای دنباله‌های متناهی از پرانتز نیز استفاده می‌شود. مثال:
<math>\langle 5, 5, 3, 8 \rangle</math>
<math>(5, 5, 3, 8)</math>
معمولاً برای جلوگیری از [[کژتابی]]، جملهٔ عمومی نیز نوشته می‌شود:
<math>\langle 2, 4, \ldots , 2n, \ldots \rangle</math>
در بسیاری از منابع، به جای <math>\langle \rangle</math> از <math>\{ \}</math> استفاده می‌شود<ref name=":2">{{یادکرد کتاب|عنوان=حسابان توماس Thomas' Calculus (14th Edition)|فصل=فصل ۱۰|شابک=978-0134438986}}</ref> امّا در این مقاله برای اشتباه نشدن با [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه‌ها]]، از این نمادها استفاده نشده. در بعضی منابع نیز از استفاده از نمادها پرهیز شده است<ref name=":1" />.
==== نمایش با جملهٔ عمومی ====
به [[ظابطه|ضابطهٔ]] یک دنباله مانند <math>a</math>، «جملهٔ عمومی» آن می‌گویند. مثال:
<math>\{ a_n \} = \{ n^2 \}</math>
<math>a_n = n^2</math>
گاهی (با این که این نمایش معمولاً برای دنباله‌های نامتناهی استفاده می‌شود)، حدود اندیس‌ها را نیز مشخّص می‌کنند<ref name=":0" /><ref name=":2" />:
<math>\{ a_n \} = \{ n^2 \}_{n=1}^\infty</math>
==== نمایش بازگشتی ====
در این روش، مقدار هر جمله از دنباله وابسته به جملات قبلی آن است<ref name=":0" />. مثل [[اعداد فیبوناچی|دنبالهٔ فیبوناچی]]:
<math>f_n = \begin{cases} 1 & n = 1 \lor n = 2 \\ f_{n-1} + f_{n-2}, & n > 2 \end{cases}</math>
بعضی مواقع می‌توان دنبالهٔ بازگشتی را ساده کرد و نمایش جملهٔ عمومی آن را پیدا کرد. به عنوان مثال دنبالهٔ
<math>a_n = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ a_{n-1} + 2n-1 & n > 1 \end{cases}</math>
را می‌توان به صورت <math>a_n = n^2</math> ساده کرد.
[[تابع اکرمن|تابع آکرمن]] مثالی ست از مواقعی که نمی‌توان دنباله را ساده کرد: <math>a_n = A(n, n)</math>
[[پرونده:First members of harmonic sequence.svg|بندانگشتی|228x228پیکسل|[[دنباله همساز|دنبالهٔ همساز]] با جملهٔ عمومی <math>a_n = {1 \over n}</math>]]
==== نمایش نموداری ====
دنباله‌ها نیز مانند بقیهٔ [[تابع|توابع]] می‌توانند به صورت نموداری نمایش داده شوند. مثال:
== یکنوایی دنباله‌ها ==
از آن جایی که دنباله نوعی [[تابع]] است، تعریف [[تابع یکنوا|یکنوایی توابع]] در این مورد نیز همان است.
=== شرط یکنوایی ===
این قضیه بیان می‌دارد که یک دنباله صعودی ست اگر و تنها اگر هر جملهٔ آن از جملهٔ قبلی بزرگتر باشد<ref name=":1" />:
<math>a\nearrow \quad \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb N: a_n \geqslant a_{n - 1}</math>
و نزولی نیز به صورت مشابه:
<math>a\searrow \quad \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb N: a_n \leqslant a_{n - 1}</math>
شرط اکیداً صعودی و اکیداً نزولی نیز به شکل مشابه.
== حد دنباله‌های نامتناهی در ∞ ==
{{main|حد دنباله}}از آنجا که دنباله یک [[تابع پیوسته|تابع گسسته]] می‌باشد، باید حد آن در بی‌نهایت را اختصاصاً تعریف کرد.
== جستارهای وابسته ==
سطر ۲۹۲ ⟵ ۹۵:
* [[اعداد چند ضلعی]]
* [[نظریه نامتغیر]]
*[[دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح]]
== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد
|
| |||