تابع پیوسته: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش برچسب: افزودن پیوند بیرونی به جای ویکی‌پیوند |
|||
خط ۱:
در ریاضیات، '''تابع پیوسته''' {{به انگلیسی|Continuous Function}} تابعی است که در مقادیر خروجی خود تغییرات ناگاهنی (به آن ناپیوستگی هم می گویند) نداشته باشد. به طور دقیق تر، یک تابع پیوسته است اگر تغییرات به دلخواه کوچک در خروجی آن را بتوان با محدود کردن ورودی به مقادیری خاص تضمین کرد. اگر تابعی پیوسته نباشد به آن ''ناپیوسته'' گویند. تا قرن 19م میلادی، ریاضیدانان به طور عمده به مفهوم شهودی پیوستگی تکیه می کردند، در طی قرن نوزدهم بود که تلاش هایی جهت ایجاد تعریف صوری پیوستگی برحسب <math>\delta</math> و <math>\epsine</math> صورت گرفت.
پیوستگی توابع یکی از مفاهیم بنیادی و مرکزی در توپولوژی است، که در ادامه به طور کامل به آن پرداخته خواهد شد. بخش مقدماتی این مقاله به حالت خاصی که ورودی و خروجی تابع اعداد حقیق اند پرداخته خواهد شد. شکل قوی تر پیوستگی، پیوستگی یکنواخت است. به علاوه، این مقاله به بحث در مورد تعریف پیوستگی توابع، در حالت کلی تر بین فضاهای متری خواهد پرداخت. در نظریه ترتیب، بخصوص در نظریه دامنه، مفهوم پیوستگی را به اسم پیوستگی اسکات می شناسند. دیگر اشکال پیوستگی نیز وجود دارند ولی در این مقاله به آن ها پرداخته نمی شود.
به عنوان مثالی از توابع پیوسته، تابع <math>H(t)</math> که نشان دهنده ارتفاع یک گل بر حسب زمان است را می توان در نظر گرفت. در مقایسه، تابع <math>M(t)</math> که نشانگر مقدار پول در حساب بانکی بر حسب زمان است را می توان تابعی ناپیوسته در نظر گرفت، چرا که در آن "پرش" هایی در نقاطی که مقادری پول به حساب واریز یا از آن بیرون کشیده می شود وجود خواهد داشت.
== تعریف هاینه ==▼
===تعریف===
[[File:Function-1 x.svg|thumb|تابع <math>f(x)=\tfrac 1x</math> روی دامنه <math>\R\smallsetminus \{0\}</math> پیوسته است، اما روی دامنه <math>\R</math> پیوسته نیست، چرا که در نقطه <math>x=0</math> تعریف نشده است.]]
یک تابع حقیقی، که تابعی از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی است را می توان با نموداری در صفحه کارتزین نمایش داد؛ به طور نادقیق می توان گفت که چنین تابعی پیوسته است اگر نمودار آن منحنی باشد که در آن پاره شدگی و شکاف نبوده و دامنه آن کل اعداد حقیقی باشد. در ادمه تعریف دقیق تر ریاضیاتی ارائه خواهد شد.
تعریف دقیق پیوستگی برای توابع حقیقی اغلب در اولی درس حسابان (حساب دیفرانسیل و انتگرال) بر اساس مفهوم حد ارائه می شود. ابتدا، یک تابع چون <math>f</math> بر حسب <math>x</math> را ''در نقطه <math>c</math>'' در اعداد حقیقی پیوسته می گویند اگر حد <math>f(x)</math> با نزدیک شدن به <math>c</math> برابر <math>f(c)</math> باشد؛ آنگاه کل یک ''تابع'' را ''پیوسته'' گویند اگر در تمام نقاطش پیوسته باشد. تابعی را ''ناپیوسته'' گویند (یا آن را دارای ''ناپیوستگی'' گویند) گویند اگر در نقطه ای پیوسته نباشد. به این نقاط ''ناپیوستگی''های آن تابع می گویند.
▲=== تعریف هاینه ===
تابع حقیقی <math>f</math> پیوسته است، اگر به ازای هر دنباله <math>x_n</math> که <math>\lim\limits_{n\to\infty} x_n=L</math>، نتیجه بگیریم <math>\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)=f(L)</math>. [[ادوارد هاینه]] ریاضی‌دان آلمانی این تعریف را ارائه داده‌است.
== منابع ==
{{
* {{Springer |title=Continuous function |id=p/c025650}}
{{پایان چپ‌چین}}
* {{یادکرد▼
▲* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function
|عنوان = Continuous Function
|زبان = انگلیسی}}
▲{{توابع ریاضی}}
[[رده:انواع تابع]]▼
▲[[رده:حساب دیفرانسیل و انتگرال]]
[[رده:نگاشت‌های پیوسته]]
▲[[رده:انواع تابع]]
| |||