تابع دبلیوی لامبرت: تفاوت میان نسخه‌ها

[[File:Finding real part of Lamber W.png|thumb|تابع دبلیوی لامبرت به عنوان وارون تابع <math>y=xe^x</math> در فضای اعداد حقیقی.]]

 

در [[ریاضیات]]، '''تابع دبلیوی لامبرت''' که به نام‌های '''تابع اُمِگا''' و '''لگاریتم ضربی''' هم صدا زده می‌شود، یک [[تابع چندمقداری]] است. ایدهٔ اصلیِ تعریف این تابع چندمقداری نوشتنِ [[معادله معکوسه|وارونی]] برای [[تابع|تابعِ]] <math>f(x)=xe^x</math> است. چون ضابطهٔ <math>f</math> [[تابع یک‌به‌یک|یک‌به‌یک]] نیست، بنابراین وارونِ آن نیز یک تابع نمی‌شود. به یاد آورید که تابع یک ضابطهٔ ریاضی است که هر عضو از مجموعهٔ [[دامنه تابع|دامنه‌اش]] را تنها به یک عضو از مجموعهٔ [[هم‌دامنه|هم‌دامنه‌اش]] می‌نگارد. اگر ضابطهٔ وارونِ تابع <math>f</math> را با <math>w(x)</math> نمایش دهیم، آنگاه باید داشته باشیم <math>f\big(w(x)\big)=x</math> یا معادلا <math>w(x)e^{w(x)}=x</math>. همان گونه که در شکل می‌بینید (خم قرمزرنگ) ضابطهٔ <math>w(x)</math> یک تابع نمی‌شود زیرا در قسمتی از دامنه‌اش، یک [[عدد حقیقی]] را به دو عدد حقیقی می‌نگارد. برای تابع‌کردنِ این ضابطه هم‌دامنه را تحدید می‌کنیم، مانند کاری که با تابع [[ریشه دوم|جذر]] انجام می‌دادیم. به هر یک از تحدیدهای این ضابطه که تابع می‌شود یک شاخه می‌گوئیم. توجه کنید که مانند تابع [[لگاریتم]] که به [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] نیز تعمیم داده‌می‌شود، تابع دبلیوی لامبرت نیز به اعداد مختلط تعمیم داده‌می‌شود. در این حالت به ازای هر [[عدد صحیح|عدد صحیحِ]] <math>k</math> یک شاخه از تابع دبلیوی لامبرت داریم. شاخهٔ <math>k</math>اُم تابع دبلیوی لامبرت را با <math>w_k(x)</math> نمایش می‌دهیم. تنها دو شاخه دارای قسمت حقیقی هستند که شاخه‌های صفرم و منفی‌یکم می‌باشند. شاخهٔ صفرم را شاخهٔ اصلیِ این تابع چندمقداری نیز می‌نامند و اگر زیراندیس <math>k</math> برای <math>w</math> نوشته نشود به طور پیش‌فرض منظور شاخهٔ اصلی می‌باشد.<ref>Dence 2013, p. 887</ref><ref>Corless, Gonnet, Jeffrey, Kunth 1996, p. 330-331 </ref>