تابع محدب: تفاوت میان نسخه‌ها

در ریاضیات، '''تابع محدب''' {{انگلیسی|Convex Function}} (یا تابع کوژ<ref>{{یادکرد وب |url=http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary/ |title=از اصطلاحات مورد استفادهٔ پژوهشکدهٔ آمار |accessdate=۱۹ دسامبر ۲۰۱۴ |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140218092349/http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary |archivedate=۱۸ فوریه ۲۰۱۴ |dead-url=yes}}</ref><ref>{{یادکرد وب|نشانی=http://www.persianacademy.ir/fa/word/|عنوان=فرهنگستان زبان و ادب فارسی|ناشر=www.persianacademy.ir|بازبینی=2016-10-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141204150536/http://persianacademy.ir/fa/word/|archivedate=۴ دسامبر ۲۰۱۴|dead-url=yes}}</ref>)، تابع حقیقی-مقداری است که روی بازه ''n''-بعدی تعریف شده و پاره خط بین هر دو نقطه از نمودار آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع محدب است اگر اپی‌گراف (مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع) آن مجموعه ای محدب باشد. تابع تک متغیره، دوبار دیفرانسیل‌پذیر است اگر و تنها اگر مشتق دوم آن روی تمام دامنه نا-منفی باشد.<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture2.pdf |title=Lecture Notes 2|website=www.stat.cmu.edu|access-date=3 March 2017}}</ref> مثال‌های شناخته شده از توابع محدب تک-متغیره شامل تابع مربعی <math>x^2</math> و تابع نمایی <math>e^x</math> می باشد. به بیان ساده، تابع محدب، تابعی است که به شکل <math>\cup</math> (cup) و تابع مقعر به شکل <math>\cap</math> (cap) است.

توابع محدب نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. بخصوص در مطالعه مسائل بهینه‌سازی که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً محدب روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرض‌های مناسب اضافی، توابع محدب هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته‌ شده ترین تابعک‌ها در حساب تغییرات اند. در نظریه احتمالات، وقتی توابع محدب را بر روی امید ریاضی یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع محدب آن متغیر تصادفی محدود می شود (یعنی کران بالای آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر: <math>\operatorname{E}(f(X)) \geq f(\operatorname{E}(X)),</math>). به خاصیت اخیر که در قالب یک نامساوی بیان شد، نامساوی جنسن (یا ینسن) گفته شده که می توان آن را جهت استنتاج نابرابری‌هایی چون نابرابری میانگین حسابی-هندسی و نابرابری هولدر نیز به کار برد.