قضیه هارتمن-گروبمن: تفاوت میان نسخهها
ایجاد شده بهواسطهٔ ترجمهٔ صفحهٔ «Hartman–Grobman theorem» |
(بدون تفاوت)
|
نسخهٔ ۲۰ ژوئن ۲۰۲۱، ساعت ۲۰:۱۲
در ریاضیات ، در مطالعه سیستم های دینامیکی ، قضیه هارتمن-گروبمن یا قضیه خطیسازی یک قضیه درباره رفتار محلی سامانههای دینامیکی در همسایگی یک نقطه تعادل هذلولیوار است. آن ادعا می کند که خطی سازی - سادهسازی طبیعی سیستم - در پیشبینی الگوهای کیفی رفتار مثر است. این قضیه نام خود را مدیون فیلیپ هارتمن و دیوید ام گروبمن است.
قضیه اصلی
سیستمی را در نظر بگیرید که در زمان با حالت در حال تحول است که معادله دیفرانسیل را برای برخی از نگاشتهای هموار ارضا می کند. فرض کنید نگاشت حالت تعادلی هذلولیوار دارد : به این معنا که، و ماتریس ژاکوبی از در حالت هیچ مقدارویژهای با قسمت حقیقی برابر با صفر ندارد. سپس همسایگی از تعادل و یک همسانریختی وجود دارد، به طوری که و به گونهای که در همسایگی شار از نظر مزدوج توپولوژیکی توسط نگاشت پیوسته برای شار خطیسازی آن است. [۱] [۲] [۳] [۴]
حتی برای نگاشتهای بینهایت مشتقپذیر ، همسانریختی لازم نیست که هموار باشد ، و نه حتی به صورت محلی لیپشیتس. با این حال ، به نظر می رسد پیوسته هلدر است ، و یک توان وابسته به ثابت هذلولیوار . [۵]
قضیه هارتمن - گروبمن به فضاهای نامتناهی باناخ ، سیستم های ناخودگرد (به انگلیسی: non-autonomous) (به طور بالقوه تصادفی) تعمیم یافته است ، و برای تهیه تفاوت های توپولوژیکی که در صورت وجود مقدارویژه با قسمت حقیقی صفر یا نزدیک به صفر وجود دارد ، ایجاد می شود.[۶][۷][۸][۹]
مثال
سیستم 2D را در متغیرها در حال تحول را در نظر بگیرید با توجه به جفت معادلات دیفرانسیل تزویجشده (به انگلیسی: coupled) است
با محاسبه مستقیم می توان دریافت که تنها تعادل این سیستم در مبدأ قرار دارد ، یعنی . تبدیل مختصات ، که ، داده شده توسط
یک نگاشت هموار بین اصلی و مختصات جدید است، حداقل نزدیک به تعادل در مبدا. در مختصات جدید سیستم دینامیکی به خطیشدگی خود تبدیل می شود
یعنی یک نسخه اعوجاجشده (به انگلیسی: distorted) از خطیسازی ، پویایی اصلی را در بعضی همسایگیهای محدود می دهد.
همچنین ببینید
منابع
- ↑ Grobman, D. M. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorphisms of systems of differential equations]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 128: 880–881.
- ↑ Hartman, Philip (August 1960). "A lemma in the theory of structural stability of differential equations". Proc. A.M.S. 11 (4): 610–620. doi:10.2307/2034720. JSTOR 2034720.
- ↑ Hartman, Philip (1960). "On local homeomorphisms of Euclidean spaces". Bol. Soc. Math. Mexicana. 5: 220–241.
- ↑ Chicone, C. (2006). Ordinary Differential Equations with Applications. Texts in Applied Mathematics. Vol. 34 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.
- ↑ Belitskii, Genrich; Rayskin, Victoria (2011). "On the Grobman–Hartman theorem in α-Hölder class for Banach spaces" (PDF).
{{cite journal}}
: Cite journal requires|journal=
(help) - ↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces". In Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Six Lectures on Dynamical Systems. Singapore: World Scientific. pp. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.
- ↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Invariant Foliations for Carathéodory Type Differential Equations in Banach Spaces". In Lakshmikantham, V.; Martynyuk, A. A. (eds.). Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century. Gordon & Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229. ISBN 978-0-415-26962-9.
- ↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "The Hartman–Grobman theorem for Caratheodory-type differential equations in Banach spaces". Non-linear Analysis. 40 (1–8): 91–104. doi:10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
- ↑ Roberts, A. J. (2008). "Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems". Physica A. 387 (1): 12–38. arXiv:math/0701623. Bibcode:2008PhyA..387...12R. doi:10.1016/j.physa.2007.08.023.
بیشتر خواندن
- Irwin, Michael C. (2001). "Linearization". Smooth Dynamical Systems. World Scientific. pp. 109–142. ISBN 981-02-4599-8.
- Perko, Lawrence (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (Third ed.). New York: Springer. pp. 119–127. ISBN 0-387-95116-4.
- Robinson, Clark (1995). Dynamical Systems : Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. Boca Raton: CRC Press. pp. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1.
لینک های خارجی
- Coayla-Teran, E.; Mohammed, S.; Ruffino, P. (February 2007). "Hartman–Grobman Theorems along Hyperbolic Stationary Trajectories" (PDF). Discrete and Continuous Dynamical Systems. 17 (2): 281–292. doi:10.3934/dcds.2007.17.281. Archived from the original (PDF) on 2007-07-24. Retrieved 2007-03-09.
- Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
- "The Most Addictive Theorem in Applied Mathematics". Scientific American.