قضیه هارتمن-گروبمن: تفاوت میان نسخه‌ها

در [[ریاضیات]]، در مطالعه [[سامانه پویا|سیستم‌های دینامیکی]]، '''قضیه هارتمن-گروبمن''' یا '''قضیه خطی‌سازی''' یک قضیه دربارهٔ رفتار محلی [[سامانه‌های دینامیکی]] در [[همسایگی (ریاضیات)|همسایگی]] یک [[نقطه تعادل هذلولی‌وار]] است. آن ادعا می‌کند که [[خطی‌سازی]] - ساده‌سازی طبیعی سیستم - در پیش‌بینی الگوهای کیفی رفتار مؤثر است. این قضیه نام خود را مدیون [[فیلیپ هارتمن]] و [[دیوید ام گروبمن]] است.

سیستمی را در نظر بگیرید که در زمان با حالت <math>u(t)\in\mathbb R^n</math>در حال تحول است که [[معادله دیفرانسیل]] <math>du/dt=f(u)</math> را برای برخی از [[همواری|نگاشت‌های هموار]] <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ارضا می‌کند. فرض کنید نگاشت [[حالت تعادلی]] هذلولی‌وار <math>u^*\in\mathbb R^n</math> دارد: به این معنا که، <math>f(u^*)=0</math> و [[ماتریس ژاکوبی]] <math>A=[\partial f_i/\partial x_j]</math> از <math>f</math> در حالت <math>u^*</math> هیچ [[مقدارویژه و بردارویژه|مقدارویژه‌ای]] با [[قسمت حقیقی]] برابر با صفر ندارد. سپس همسایگی <math>N</math> از تعادل <math>u^*</math> و یک [[همسان‌ریختی]] <math>h : N \to \mathbb{R}^n</math> وجود دارد، به طوری که <math>h(u^*)=0</math> و به گونه‌ای که در همسایگی <math>N</math> [[شار (ریاضیات)|شار]] <math>du/dt=f(u)</math> از نظر [[مزدوج توپولوژی|مزدوج توپولوژیکی]] توسط نگاشت پیوسته <math>U=h(u)</math> برای [[شار (ریاضیات)|شار]] خطی‌سازی آن <math>dU/dt=AU</math> است.<ref>{{Cite journal|last=Grobman|first=D. M.|year=1959|title=О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений|trans-title=Homeomorphisms of systems of differential equations|journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]]|volume=128|pages=880–881}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Hartman|first=Philip|author-link=Philip Hartman|date=August 1960|title=A lemma in the theory of structural stability of differential equations|journal=Proc. A.M.S.|volume=11|issue=4|pages=610–620|doi=10.2307/2034720|jstor=2034720|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Hartman|first=Philip|year=1960|title=On local homeomorphisms of Euclidean spaces|journal=Bol. Soc. Math. Mexicana|volume=5|pages=220–241}}</ref><ref>{{cite book|first=C.|last=Chicone|title=Ordinary Differential Equations with Applications|volume=34|series=Texts in Applied Mathematics|publisher=Springer|edition=2nd|year=2006|isbn=978-0-387-30769-5}}</ref>

سیستم 2D را در متغیرها در حال تحول <math>u=(y,z)</math> را در نظر بگیرید با توجه به جفت [[معادلات دیفرانسیل]] تزویج‌شده {{به انگلیسی|coupled}} است

یک نگاشت هموار بین <math>u=(y,z)</math> اصلی و مختصات <math>U=(Y,Z)</math> جدید است، حداقل نزدیک به تعادل در مبدأ. در مختصات جدید [[سیستم دینامیکی]] به خطی‌شدگی خود تبدیل می‌شود

{{پانویس|30em|۲|چپ‌چین=بله}}

[[رده:قضایایویکی‌سازی آنالیزرباتیک]]