قضیه هارتمن-گروبمن: تفاوت میان نسخه‌ها

سیستمی را در نظر بگیرید که در زمان با حالت <math>u(t)\in\mathbb R^n</math>در حال تحول است که [[معادله دیفرانسیل]] <math>du/dt=f(u)</math> را برای برخی از [[همواری|نگاشت‌های هموار]] <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ارضا می‌کند. فرض کنید نگاشت [[حالت تعادلی]] هذلولی‌وار <math>u^*\in\mathbb R^n</math> دارد: به این معنا که، <math>f(u^*)=0</math> و [[ماتریس ژاکوبی]] <math>A=[\partial f_i/\partial x_j]</math> از <math>f</math> در حالت <math>u^*</math> هیچ [[مقدارویژه و بردارویژه|مقدارویژه‌ای]] با [[قسمت حقیقی]] برابر با صفر ندارد. سپس همسایگی <math>N</math> از تعادل <math>u^*</math> و یک [[همسان‌ریختی]] <math>h : N \to \mathbb{R}^n</math> وجود دارد، به طوری که <math>h(u^*)=0</math> و به گونه‌ای که در همسایگی <math>N</math> [[شار (ریاضیات)|شار]] <math>du/dt=f(u)</math> از نظر [[مزدوج توپولوژی|مزدوج توپولوژیکی]] توسط نگاشت پیوسته <math>U=h(u)</math> برای [[شار (ریاضیات)|شار]] خطی‌سازی آن <math>dU/dt=AU</math> است.<ref>{{Cite journal|last=Grobman|first=D. M.|year=1959|title=О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений|trans-title=Homeomorphisms of systems of differential equations|journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]]|volume=128|pages=880–881}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Hartman|first=Philip|author-link=Philip Hartman|date=August 1960|title=A lemma in the theory of structural stability of differential equations|journal=Proc. A.M.S.|volume=11|issue=4|pages=610–620|doi=10.2307/2034720|jstor=2034720|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Hartman|first=Philip|year=1960|title=On local homeomorphisms of Euclidean spaces|journal=Bol. Soc. Math. Mexicana|volume=5|pages=220–241}}</ref><ref>{{cite book|first=C.|last=Chicone|title=Ordinary Differential Equations with Applications|volume=34|series=Texts in Applied Mathematics|publisher=Springer|edition=2nd|year=2006|isbn=978-0-387-30769-5}}</ref>

 

 

قضیه هارتمن - گروبمن به فضاهای نامتناهی باناخ، سیستم‌های ناخودگرد {{به انگلیسی|non-autonomous}} <math>du/dt=f(u,t)</math> (به‌طور بالقوه تصادفی) تعمیم یافته‌است، و برای تهیه تفاوت‌های توپولوژیکی که در صورت وجود مقدارویژه با قسمت حقیقی صفر یا نزدیک به صفر وجود دارد، ایجاد می‌شود.<ref>{{cite book|first=B.|last=Aulbach|first2=T.|last2=Wanner|chapter=Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces|editor-first=B.|editor-last=Aulbach|editor2-first=F.|editor2-last=Colonius|title=Six Lectures on Dynamical Systems|pages=45–119|publisher=World Scientific|location=Singapore|year=1996|isbn=978-981-02-2548-3}}</ref><ref>{{cite book|first=B.|last=Aulbach|first2=T.|last2=Wanner|chapter=Invariant Foliations for Carathéodory Type Differential Equations in Banach Spaces|editor-first=V.|editor-last=Lakshmikantham|editor2-first=A. A.|editor2-last=Martynyuk|title=Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century|publisher=Gordon & Breach|year=1999|isbn=978-0-415-26962-9|citeseerx=10.1.1.45.5229}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Aulbach|first1=B.|last2=Wanner|first2=T.|year=2000|title=The Hartman–Grobman theorem for Caratheodory-type differential equations in Banach spaces|journal=Non-linear Analysis|volume=40|issue=1–8|pages=91–104|doi=10.1016/S0362-546X(00)85006-3}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Roberts|first1=A. J.|year=2008|title=Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems|journal=Physica A|volume=387|issue=1|pages=12–38|arxiv=math/0701623|bibcode=2008PhyA..387...12R|doi=10.1016/j.physa.2007.08.023}}</ref>