سری (ریاضیات): تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
خط ۵۰:
 
== قضیه مشتق‌گیری سری های توانی ==
اگر <math>\sum_{i=0}^n a_i x^i </math> یک سری توانی با شعاع همگرایی<math> r > 0</math> باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری <math>\sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i </math> که حاصل از مشتق‌گیری جمله به جمله سری داده شده است، برابر با <math>r</math> است اگر چه قضیه مشتق‌گیری بیان می‌کند که مشتق اول سری توانی <math>\sum_{i=0}^n a_i x^i </math> با شعاع همگرایی ناصفر ، وجود دارد ولی ، چون سری مشتق شده خود یک سری توانی با همان شعاع همگرایی است، از این سری نیز می‌توان مشتق گرفت. در نتیجه سری داده شده دوبار مشتق‌پذیر است. با تکرار این روند ، نتیجه می‌گیریم که همه مشتقهای یک سری توانی با شعاع همگرایی <math>|r| >=\geq 0 </math> در بازه (<math>r</math> , + <math>r</math> -) وجود دارند. با این توضیحات به ذکر یک قضیه می‌پردازیم.
:
'''قضیه'''
:
اگر سری توانی در فاصله (<math>r</math> , + <math>r</math> -) همگرا باشد، آنگاه مجموع آن نمایشگر تابعی است که در فاصله همگرایی دارای مشتقهای تا مرتبه n ام است، و هر یک از مرتبه‌های مشتق مثلا مشتق مرتبه n ام مجموع سری ، برابر مجموع یک سری است که به n بار مشتق‌گیری جمله به جمله از سری مفروض حاصل می‌گردد. علاوه بر این ، فاصله همگرایی هر سری حاصل از مشتق‌گیری ، همان فاصله همگرایی سری مفروض ، یعنی (<math>r</math> , + <math>r</math> -) است.
 
== قضیه انتگرال‌گیری سری های توانی ==
:
اگر شعاع همگرایی سری توانی <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i </math> برابر با <math>r </math> > 0 باشد، آنگاه
شعاع همگرایی سری <math>\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{i + 1} x^i + 1</math> ، حاصل از انتگرال‌گیری جمله به جمله از سری داده شده، برابر با <math>r</math> است.
 
== جستارهای وابسته ==