اسپلاین (ریاضیات): تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
نجات ۲ منبع و علامت‌زدن ۰ به‌عنوان مرده.) #IABot (v2.0.6 |
P.arashnia (بحث | مشارکت‌ها) بدون خلاصۀ ویرایش برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر |
||
خط ۲۱:
== منحنی اسپلاین درجه سوم ریلکس(relaxed cubic spline) ==
منحنی اسپلاین درجه سوم را ریلکس می‌نامند، اگر مشتق دوم در هر انتها صفر شود
ما می‌بایستی تمرکز خود را روی منحنی‌های اسپلاین درجه سوم ریلکس قرار دهیم. همانگونه که خواهید دید، از این منحنی‌ها می‌توان برای طراحی‌های کنترل شده(b-spline) یا برای درون یابی استفاده کرد. برای تشریح ضابطه‌های از درجهٔ سوم به صورت ساده و قرادادی، می‌بایستی از
== منحنی‌های
به منظور ارضای شرط ریلکس بودن انتهای منحنی، می‌بایستی بتوانیم تشخیص دهیم که چه زمانی یک منحنی '''
<math>{P}''(0)=6({{P}_{0}}-2{{P}_{1}}+{{P}_{2}})</math>
این معادله زمانی صفر می‌شود که:
خط ۳۵:
<math>{P}''(0)=0</math> اگر و تنها اگر <math>P</math>eنقطهٔ میانی المان<math>\overline{{{P}_{0}}{{P}_{2}}}</math>;<math>{P}''(1)=0</math> اگر و تنها اگر <math>{{P}_{2}}</math>نقطهٔ میانی المان<math>\overline{{{P}_{1}}{{P}_{3}}}</math> باشد. نمونه‌هایی در شکل ۳ نشان داده شده‌است.
== چسباندن دو منحنی
۱-مطابقت دادن نقاط انتهایی{{سخ}}[[پرونده:SplineFig4.jpg|بندانگشتی|شکل ۴]]
با دو منحنی که می‌توانند به همدیگر بچسبند ولی با یکدیگر به خوبی مطابقت ندارند شروع می‌کنیم. منحنی اول با نقاط کنترلی<math>{{\text{P}}_{0}}\text{ }{{\text{P}}_{1}}\text{ }{{\text{P}}_{2}}\text{ }{{\text{P}}_{3}}</math> و منحنی دوم دارای نقاط کنترلی<math>{{Q}_{0}}\text{ }{{\text{Q}}_{1}}\text{ }{{\text{Q}}_{2}}\text{ }{{\text{Q}}_{3}}</math>. همان‌طور که در شکل ۴ نشان داده شده‌است.
فرض کنید که<math>{{\text{Q}}_{0}}={{\text{P}}_{3}}</math>، برای قرارداد این نقطهٔ اتصال را s می‌نامیم،<math>{{\text{Q}}_{0}}={{\text{P}}_{3}}=s</math>نتیجه در شکل ۴ نمایش داده شده‌است.
منحنی دارای یک گوشه است، زیرا در s منحنی
۲-مطابقت دادن اندازه‌ها و مشتقات اول
یک اتصال بهتر زمانی بدست می‌آید که s نقطه میانی خط P2Q1 باشد، به طوری که مشتق اول در محل اتصال مطابقت داشته باشد. شکل۵ نمونه‌ای است که دارای این شرایط می‌باشد.
این نمونه هموارتر به نظر می‌آید. با این وجود، هنوز آرمانی نمی‌باشد. فرض کنید سوار بر قطاری هستید که روی این منحنی حرکت می‌کند. در بخش اول منحی
۳-مطابقت دادن اندازه، مشتق اول و دوم
در s، با قرار دادن t=1 , t=۰ …مشتق دوم منحنی
6(p1-2p2+s)=6(s-2q1+q2) ویا متعاقباً p1-p2=q2-2q1.
راهی جالب برای درون یابی از این معادله. دو طرف را در منفی ضرب می‌کنیم تا داشته باشیم:
خط ۵۳:
A+=2p2-p1=p2+1.(p2-p1). همانگونه که در شکل ۶ نشان داده شده‌است. A+ را راس زائیهٔ راست از چند ضلعی کنترلی اول می‌نامیم. به صورتی مشابه، بخش سمت راست معادله را راس زاویه‌ای سمت چپ نامیده و برابر است با
A-=2q1-q2
از منحنی
همانگونه که می‌بینید، در این مثال دو راس زاویه‌ای یکسان نیستند، بنابراین معادله ارضا نمی‌شود و مشتقات دوم از منحنی‌های
تعریف:
قاب-Aشکلی است با نقاط نشان داده شده، به گونه‌ای که s نضطهٔ میانی p2p1، و p2 نقطهٔ میانیp1A، وq1 نقطهٔ میانی Q2A. مثالی در شکل ۸ آورده شده‌است؛ بنابراین:
اگر دو منحنی
نکته:
مطابقت دادن مشتقات سوم اگر چه اطمینان بخش می‌باشد، ولی مفید نیست، همانگونه که هر دو منحنی را مجبور می‌کند که بخشی از یک منحنی درجه سوم باشند؛ بنابراین انعطاف‌پذیری بدست آمده ناشی از چسبانده دو منحنی از بین می‌رود.
| |||