حدس اردوش-استراوس: تفاوت میان نسخه‌ها

{{unsolved|ریاضیات|2=آیا به ازای هر عدد صحیح {{<math|''>n''\ge ≥ ۲}}2</math> معادلهٔ {{<math|1>\tfrac4n=4/''n'' = 1/''x'' \tfrac1x+ 1\tfrac1y+\tfrac1z</''y''math> + 1/''z''}} پاسخ [[عدد صحیح|صحیح]] مثبتی دارد؟}}

در [[نظریه اعداد]]، حدس '''اردوش-استراوس''' بیان می‌کند که به ازای هر عدد صحیح {{<math|''>n''\ge ≥2</math> ۲}}، [[عدد گویا]]ی {{<math|>4/''n''}}</math> را می‌توان به صورت مجموع سه کسر واحد مثبت <math>1/x+1/y+1/z</math> بیان کرد . [[پاول اردوش]] و [[ارنست جی استراوس]] این حدس را در سال ۱۹۴۸1948 تنظیم کردند.<ref>See, e.g. , {{harvtxt|Elsholtz|2001}}. Note however that the earliest published reference to it appears to be {{harvtxt|Erdős|1950}}.</ref> این یکی از [[حدس‌های پال اردوش]] است.

اگر {{mvar|<math>n}}</math> عددی [[عدد مرکب|مرکب]] باشد، {{<math|1=''>n'' = ''pq''}}</math> ، آنگاه می‌توان پاسخ معادله برای {{<math|>4/''n''}}</math> را از روی پاسخ {{<math|>4/''p''}}</math> یا {{<math|>4/''q''}}</math> پیدا کرد؛ بنابراین، اگر مثال نقضی برای حدس اردوش-استراوس وجود داشته باشد، کوچکترین {{mvar|<math>n}}</math> [[مثال نقض]] باید عددی اول باشد، و با نتیجه‌گیری بیشتر می‌توان آن را به یکی از شش مدول [[تصاعد حسابی]] نامتناهی عدد {{<math|>840}}</math> محدود کرد.<ref>{{harvtxt|Mordell|1967}}.</ref> تحقیق‌های رایانه ای نشان می‌دهد حدس بر روی اعداد تا {{<math|''>n''&nbsp;≤&nbsp;\ge 10<sup>^{17}</supmath>}} صادق است {{sfnp|Salez|2014}}، اما اثبات آن برای همهٔ {{mvar|<math>n}}</math> ها همچنان یک مسئلهٔ حل نشده‌است.

به‌طور صوری تر، حدس بیان می‌کند که به ازای هر عدد صحیح{{ <math|''>n''\ge ≥2</math> ۲}}، اعداد صحیح مثبت {{mvar|<math>x}}</math>، {{mvar|<math>y}}</math> و {{mvar|<math>z}}</math> وجود دارد به طوری که:

به عنوان مثال، به ازای {{<math|1=''>n'' =5</math> ۵}}، دو پاسخ وجود دارد:

بعضی از محققان شرط متمایز بودن این اعداد صحیح را نیز لازم می‌دانند، در حالی که برخی دیگر اجازه می‌دهند برابر باشند. برای {{<math|''>n''\ge ≥3</math> ۳}}، مهم نیست اعداد با هم متفاوت باشند: اگر یک راه حل برای هر سه عدد صحیح {{mvar|y}}<math>x</math> , {{mvar|x}}<math>y</math> و {{mvar|<math>z}}</math> وجود داشته باشد، یک راه حل برای اعداد صحیح مجزا نیز وجود دارد.<ref>{{harvtxt|Eppstein|1995}}, [https://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/conflict.html conflict resolution section].</ref> برای {{<math|1=''>n'' =2</math> ۲}}، تنها راه حل {{<math|1>\tfrac42=۴/۲ = ۱/۲ \tfrac12+ ۱\tfrac12+\tfrac11</۲math> + ۱/۱}}، است با در نظر گرفتن جایگشت جمع‌شونده‌ها. وقتی {{mvar|y}}<math>x</math> , {{mvar|x}}<math>y</math> و {{mvar|<math>z}}</math> سه عدد متفاوت باشند، این کسرهای واحد [[کسر مصری]] عدد {{<math|۴>4/''n''}}</math> را نمایش می‌دهند.