مشخصه (جبر): تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز ←منابع: پانویس --> منابع |
جزبدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۱:
مشخصه{{به انگلیسی|characteristic}} یک حلفه R در ریاضیات، که با char(''R'') نشان داده می شود، به صورت کوچکترین تعداد دفعاتی که باید همانی ضربی حلفه (1) را باید جمع کرد تا به همانی جمع (0) برسیم، تعریف می گردد. اگر این جمع هیچ وقت به همانی جمع نرسد، گفته می شود که حلقه مشخصه صفر دارد.
یعنی، char(''R'') کوچکترین عدد مثبت ''n'' است که {{sfn|Fraleigh|Brand|2020|p=198|loc=Th. 23.14}}
:<math>\underbrace{1+\cdots+1}_{n \text{ summands}} = 0</math>
اگر چنین عدد ''n'' ای وجود داشته باشد، و در غیر اینصورت صفر است.
انگیزه ما از تعریف خاص مشخصه صفر سازگاری با تعاریف معادل داده شده در {{slink||Other equivalent characterizations}} است که در آن نیازی نیست که مشخصه صفر را به صورت مجزا درنظر بگیریم.
می توان مشخصه را نمای گروه جمعی حلقه دانست، یعنی کوچکترین عدد صحیح مثبت n که:{{sfn|Fraleigh|Brand|2020|p=198|loc=Def. 23.12}}
:<math>\underbrace{a+\cdots+a}_{n \text{ summands}} = 0</math>
برای هر عنصر ''a'' از حلقه (دوباره، اگر ''n'' موجود باشد؛ و در غیر اینصورت صفر). بعضی نویسندگان عنصر همانی ضربی را در نیازمندی یک حلقه شامل نمی کنند، و این تعریف برای این قرارداد مناسب نیست؛ در غیر اینصورت دو تعریف، به دلیل قانون پخش‌پذیری در حلقه‌ها معادل اند.
در [[نظریه حلقه‌ها]]، '''مشخصه''' (Characteristic) [[حلقه (ریاضیات)|حلقه‌ای]] چون <math>R</math> که اغلب به صورت <math>\operatorname{char}(R)</math> نشان داده می‌شود، به صورت کوچکترین عدد صحیح مثبتی چون <math>n</math> تعریف می‌گردد که برای آن داریم: <math>\forall{a}\in{R}\left(n.a=0\right)</math>{{رچ}}{{efn|یعنی اگر هر عضو از حلقه را n بار با خودش جمع کنید، برابر صفر شود.}}. اگر چنین عددی وجود نداشته باشد، مشخصه را صفر تعریف می‌کنند.{{sfn|Fraleigh|Brand|2020|p=198|loc=Def. 23.12}} برای حلقه‌های یک‌دار، می‌توانیم مشخصه را روی [[همانی ضرب|همانی ضربی]] حلقه تعریف کنیم:{{sfn|Fraleigh|Brand|2020|p=198|loc=Th. 23.14}}
| |||