تابع پیوسته: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز رایج |
جزبدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۹:
==تاریخچه==
تعریف اپسیلون-دلتا از پیوستگی اولین بار توسط [[برنارد بولتسانو|برنارد بولزانو]] در ۱۸۱۷ داده شد. [[آگوستین لویی کوشی]] پیوستگی <math>y=f(x)</math> را به این صورت تعریف کرد: هر افزایش بی نهایت کوچکی چون <math>\alpha</math> در متغیر مستقل <math>x</math>، همیشه منجر به افزایش بی نهایت کوچک <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> در متغیر وابسته <math>y</math> شود (به عنوان مثال ''Cours d'Analyse'' صفحه ۳۴ را ببینید). کوشی مقادیر بی نهایت کوچک را بر حسب متغیر ها بیان کرد، و این تعریف از پیوستگی قرابت نزدیکی با تعریف [[بی‌نهایت‌کوچک‌ها|بی‌نهایت‌کوچک‌هایی]] که امروزه استفاده می شوند داشت (بحث [[میکرو پیوستگی]] را ببینید). تعریف صوری و تمایز بین پیوستگی نقطه ای و [[پیوستگی یکنواخت]] اولین بار توسط بولزانو در دهه ۱۸۳۰ میلادی ارائه شد، اما اثر او تا دهه ۱۹۳۰ انتشار نیافت.
== پیوستگی توابع و قضایای آن ==
تابع پیوسته f در نقطه a تابعی است که در نقطه a تعریف شده، و هم چنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر f(a) باشد. در تعریف هندسی می گوییم، تابعی پیوسته است که بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.
=== تعریف ریاضی پیوستگی ===
تابع f در نقطه x=a پیوسته گوییم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد:
# (f(a موجود و متناهی باشد یعنی تابع در نقطه a تعریف شده باشد.
# حد تابع در a موجود باشد یعنی حد راست و چپ در این نقطه موجود و برابر باشد.
# حد تابع برابر مقدار تابع باشد.
== توابع حقیقی ==
| |||