[[پرونده:Grafico 3d x2+xy+y2.png|300px|بندانگشتی|نموداری از تابع محدب [[چندجمله‌ای]] <math>x^2+xy+y^2</math>.]]
در [[ریاضیات]]، '''تابع محدبکوژ''' {{انگلیسی|Convex Function}} (یا تابع کوژ<ref>{{یادکرد وب|url=http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary/|title=از اصطلاحات مورد استفادهٔ پژوهشکدهٔ آمار|accessdate=۱۹ دسامبر ۲۰۱۴|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140218092349/http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary|archivedate=۱۸ فوریه ۲۰۱۴|dead-url=yes}}</ref><ref>{{یادکرد وب|نشانی=http://www.persianacademy.ir/fa/word/|عنوان=فرهنگستان زبان و ادب فارسی|ناشر=www.persianacademy.ir|بازبینی=2016-10-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141204150536/http://persianacademy.ir/fa/word/|archivedate=۴ دسامبر ۲۰۱۴|dead-url=yes}}</ref> {{انگلیسی|Convex Function}} (یا تابع محدب)، [[تابع حقیقی|تابع حقیقی-مقداری]] است که روی [[بازه|بازه ''n''-بعدی]] تعریف شده و [[پاره‌خط|پاره خط]] بین هر دو نقطه از [[نمودار تابع|نمودار]] آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع محدبکوژ است اگر [[اپی گراف|اپی‌گراف]] (مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع) آن [[مجموعه محدب|مجموعه ای محدبکوژ]] باشد. تابع تک متغیره، دوبار [[تابع دیفرانسیل‌پذیر|دیفرانسیل‌پذیر]] است اگر و تنها اگر [[مشتق]] دوم آن روی تمام دامنه نا-منفی باشد.<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture2.pdf |title=Lecture Notes 2|website=www.stat.cmu.edu|access-date=3 March 2017}}</ref> مثال‌های شناخته شده از توابع محدبکوژ تک-متغیره شامل [[تابع مربعی]] <math>x^2</math> و [[تابع نمایی]] <math>e^x</math> می باشد. به بیان ساده، تابع محدب،کوژ، تابعی است که به شکل <math>\cup</math> (cup) و [[تابع مقعر]] به شکل <math>\cap</math> (cap) است.
توابع محدبکوژ نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. به‌خصوص در مطالعه مسائل [[بهینه‌سازی]] که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً محدبکوژ روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرض‌های مناسب اضافی، توابع محدبکوژ هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته شده ترین [[تابعی (ریاضیات)|تابعی‌ها]] در [[حساب تغییرات]] اند. در [[نظریه احتمالات]]، وقتی توابع محدبکوژ را بر روی [[امید ریاضی]] یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع محدبکوژ آن [[متغیر تصادفی]] محدود می شود، یعنی [[کران‌های بالا و پایین|کران بالای]] آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر: <math>\operatorname{E}(f(X)) \geq f(\operatorname{E}(X))</math>. به خاصیت اخیر که در قالب یک نامساوی بیان شد، [[نابرابری ینسن|نامساوی جنسن]] (یا ینسن) گفته شده که می توان آن را جهت استنتاج نابرابری‌هایی چون [[نابرابری میانگین حسابی-هندسی]] و نابرابری هولدر نیز به کار برد.
