عدد گنگ: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
افزودن تاریخچه |
ویژگی پیوندهای پیشنهادی: ۳ پیوند افزوده شد. برچسبها: ویرایشگر دیداری ویرایش همراه ویرایش از وبگاه همراه وظیفه تازهوارد پیشنهادی: افزودن پیوند |
||
خط ۴:
برخی از اعداد گنگ شامل این مواردند: [[عدد پی|عدد <math>\pi</math>]] که نسبت محیط دایره به قطرش است، [[E (عدد)|عدد اویلر]] <math>e</math>، [[نسبت طلایی]] <math>\varphi</math> و ریشه مربعی ۲ ([[ریشه دوم ۲|ریشه دوم ۲]]).<ref>[http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/trans.html The 15 Most Famous Transcendental Numbers]. by [[Clifford A. Pickover]]. URL retrieved 24 October 2007.</ref><ref>http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html; URL retrieved 24 October 2007.</ref><ref>{{MathWorld|title=Irrational Number|urlname=IrrationalNumber}} URL retrieved 26 October 2007.</ref> درحقیقت، تمام ریشه‌های مربعی [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] به غیر از مربع‌های کامل، گنگ هستند.
اعداد گنگ را همچون تمام اعداد حقیقی می‌توان برحسب [[ارزش مکانی]] (مثلاً در [[ده‌دهی|دستگاه ده‌دهی]]) بیان نمود. اعشار اعداد گنگ پایان ناپذیر است و [[ده‌دهی متناوب|دنباله متناوبی]] تشکیل نمی‌دهند. به عنوان مثال، [[نمایش ده‌دهی]] عدد <math>\pi</math> با ۳٫۱۴۱۵۹ شروع می‌شود، اما نمی‌توان با هیچ تعداد متناهی از ارقام، این عدد را نمایش داد و در ارقام اعشاری آن تکرار وجود ندارد. برعکس، بسط اعشاری که پایان پذیر بوده یا تناوب داشته باشد، لزوماً عدد گویایی است. این خواص اعداد گنگ و دستگاه ارزش مکانی را می‌توان اثبات نمود، با این حال از آن‌ها در ریاضیات به عنوان تعریف استفاده نمی‌شوند.
اعداد گنگ را به کمک [[کسر مسلسل|کسرهای مسلسل]] پایان ناپذیر و بسیاری از طرق دیگر نیز می‌توان بیان نمود.
خط ۱۷:
=== رادیکال دو ===
شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد <math>\sqrt{2}</math> بوده باشد. کشف این عدد منتسب به فیثاغورسیان (شاگردان [[فیثاغورس]]) است و گفته می‌شود در رقابت‌های علمی که در آن زمان بین گروه‌های مختلف در جریان بود این عدد نقش یک برگ برنده بزرگ را برای فیثاغورسیان ایفا می‌کرده‌است. این عدد طول قطر [[مربع|مربعی]] به ضلع واحد می‌باشد که به راحتی از رابطهٔ فیثاغورث <math>a^{2} + b^{2} = c^{2}</math> بدست می‌آید. در ریاضیات کلاسیک هم <math>\sqrt{2}</math> رایج‌ترین گزینه برای اثبات وجود اعداد گنگ است. در واقع ثابت می‌شود که عدد گویایی موجود نیست که مربع آن برابر با ۲ شود. اهمیت کشف اعداد گنگ در آنجا بود که نوعی [[عدم قطعیت]] به ریاضیات می‌داد؛ بدین معنا که برخلاف ذات ریاضیات یعنی قطعی بودن آن در عمل، اعداد گنگ را نمی‌توان به‌طور قطعی بیان کرد مثلاً بسط اعشاری همین عدد <math>\sqrt{2}</math> نامختوم و نامتناوب است و برای نمایش آن مجبوریم به چند رقم اعشار آن اکتفا کنیم و بقیه را نادیده بگیریم، مثلاً می‌نویسیم: <math>\sqrt{2} = 1.4142</math>
[[پرونده:Golden Rectangle Construction.svg|بندانگشتی|219x219پیکسل|نسبت طلایی]]
خط ۲۷:
=== عدد پی ===
[[عدد پی]] (۳٫۱۴۱۵ = π) از اعداد گنگ است. عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند ظاهر می‌شود. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط [[تمدن بابل|بابل]]یان (۳٫۱۲۵) و [[مصر باستان|مصر]]یان (۳٫۱۶۰۴) در ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است. همچنین در متون [[هند]]ی این عدد ۳٫۱۳۹ تقریب زده شده که حدوداً تا دو رقم اعشار صحیح است. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد، [[ارشمیدس]] در قرن سه قبل از میلاد بود. او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی‌های منتظم و به کمک ۹۶ ضلعی منتظم عدد پی را ۳٫۱۴۱۹ تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است. همچنین دانشمندی [[چین]]ی بنام [[زو چانگ ژی]] در قرن ۵ میلادی عدد پی را ۳٫۱۴۱۵۹۲۹۲ محاسبه کرد که تا ۶ رقم اعشار صحیح است. غیاث الدین جمشید کاشانی دانشمند و ریاضی دان ایرانی نیز عدد پی را تا 17 رقم اعشار بدست آورد که تنها در رقم هفدهم با محاسبات امروزی تفاوت داشت. تا هزاره دوم میلادی کمتر از ده رقم اعشار عدد پی به‌طور صحیح محاسبه شده بود (به کمک عدد پی تا ۱۱ رقم اعشار می‌توان محیط [[زمین|کره زمین]] را با دقت میلی‌متر تخمین زد). رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش [[سری_(ریاضیات)|سری‌های نامتناهی]] تخمین‌های بهتر و بهتری برای عدد پی بدست آمد، بطوریکه امروزه با استفاده از [[رایانه]]های شخصی می‌توان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد. اگر می‌خواهید عدد p را تا ده رقم اعشار به خاطر بسپارید تعداد حروف کلماتِ این شعر به شما کمک خواهد کرد: خرد و بینش و آگاهی دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد= ۳/۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵
=== عدد نپر ===
| |||