قانون اعداد بزرگ: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
MahdiAnime (بحث | مشارکت‌ها) افزودن متن [۶۰ کلمه] |
جز افزودن عنوان ها |
||
خط ۳:
نکتهٔ مهم دربارهٔ قانون اعداد بزرگ این است که این قانون - همان‌طور که از نامش پیداست - تنها زمانی اعمال می‌شود که تعداد زیادی مشاهدات در نظر گرفته شود. هیچ اصلی وجود ندارد که تعداد کمی از مشاهدات با مقدار مورد انتظار منطبق شود.<ref>{{Cite journal|date=2022-01-02|title=Law of large numbers|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=1063288449|journal=Wikipedia|language=en}}</ref>
همچنین مهم است که توجه داشته باشید که قانون اعداد بزرگ فقط برای میانگین اعمال می‌شود. صورت ریاضی آن بدین شکل است:<math display="block">\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{X_i} n - \overline{X} = 0</math>[[پرونده:Largenumbers.svg|نمایشی از قانون اعداد بزرگ برای ریختن [[تاس]]. از چپ به راست، تعداد دفعات ریختن تاس زیاد می‌شود و میانگین نتایج آزمایش به ۳٫۵ نزدیک‌تر می‌شود.|انگشتی|۴۰۰ پیکسل]]فرمول‌های دیگری که مشابه به نظر می‌رسند قابل قبول نیستند. مانند [[انحراف معیار|انحراف معیارِ]] "نتایج نظری":<math display="block">\sum_{i=1}^n X_i - n\times\overline{X}</math>این فرمول نه تنها با افزایش n به سمت صفر همگرا نمی‌شود، بلکه با افزایش n به یک مقدار ثابت میل خواهد کرد.<ref>{{Cite journal|date=2022-01-02|title=Law of large numbers|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=1063288449|journal=Wikipedia|language=en}}</ref>
== مثال ها ==
به عنوان یک مثال، وقتی یک [[تاس]] شش‌وجهی را یک بار بریزیم، یکی از عددهای ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶ به دست خواهد آمد. اگر این آزمایش را تکرار کنیم، هر دفعه یکی از این اعداد به دست می‌آیند و اگر تاس [[نااریب]] باشد، احتمال دیده شدن این اعداد با هم برابر است. در نتیجه امید ریاضی عددی که با ریختن هر بار تاس به دست می‌آید طبق این فرمول:
: <math> \tfrac {1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5.</math>
سطر ۱۰ ⟵ ۱۲:
به‌طور مثال میتوان به [[آزمایش پرتاب سکه]] اشاره کرد. همان‌طور که می‌دانیم نتیجه این آزمایش [[توزیع برنولی]] دارد. اگر فقط یک بار آزمایش را انجام دهیم احتمال رو آمدن سکه برابر ۱/۲ است، طبق قانون اعداد بزرگ اگر تعداد پرتاب‌ها زیاد باشد نسبت تعداد رو آمدن‌ها به تعداد کل پرتاب‌ها به ۱/۲ میل می‌کند<ref name="en.wikipedia.org" />
مشخص است که اختلاف تعداد روها و پشت‌ها با زیاد شدن تعداد آزمایش‌ها افزایش پیدا می‌کند. پس احتمال کوچک بودن اختلاف روها و پشت‌ها به سمت عدد صفر میل می‌کند. هم چنین میتوان نتیجه گرفت که نسبت اختلاف روها و پشت‌ها به تعداد کل پرتاب‌ها نیز به سمت صفر می‌روند. از این حقیقت در می‌یابیم که با وجود رشد اختلاف بین تعداد روها و پشت‌ها در انجام این آزمایش به دفعات زیاد، سرعت این رشد از سرعت افزایش تعداد کل پرتاب‌ها کم‌تر است.<ref name="en.wikipedia.org" />
:میتوان قانون اعداد بزرگ را به صورت خلاصه شده به شکل زیر نوشت:▼
== محدودیت ها ==
== تاریخچه ==
== اثبات قانون ضعیف ==
== شکل های قانون اعداد بزرگ ==
دو شکل متفاوت برای '''قانون اعداد بزرگ''' وجود دارد که در زیر به بررسی آنها پرداخته شده است: قانون ضعیف اعداد بزرگ و قانون قوی اعداد بزرگ.
: <math> \lim _{n \to \infty} \tfrac {x_1+x_2+... +x_n}{n} = u </math><ref>
شلدون راس، "مبانی احتمال" مترجمین: دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی</ref>
سطر ۲۴ ⟵ ۳۵:
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_theory&action</ref>
گفتنی است نصرا... اعتمادی (1324 ش - ...)(1945 م - ...) احتمال دان ایرانی اثباتی بدیغ برای قانون اعداد بزرگ در سال 1981 م ارائه داد که هم اکنون در بسیاری از کتابهای نظریه احتمال مانند کتاب P. Billingsley) Probability and Measure) درج شده است. در این اثبات، شرط استقلال توام متغیرهای تصادفی به شرط استقلال دو به دو کاهش یافته است و افزون اینکه از شیوه ای بدیع در اثبات استفاده شده است.
| |||