قانون اعداد بزرگ: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز تغییرات در بخش شکل های قانون |
جز اتمام بخش اول شکل های قانون اعداد بزرگ |
||
خط ۲۱:
== شکل های قانون اعداد بزرگ ==
دو شکل متفاوت برای '''قانون اعداد بزرگ''' وجود دارد که در زیر به بررسی آنها پرداخته شده است: ''قانون ضعیف اعداد بزرگ'' و '''''قانون قوی''' اعداد بزرگ''.<ref>{{Cite book|title=A Course in Mathematical Statistics and Large Sample Theory|last1=Bhattacharya|first1=Rabi|last2=Lin|first2=Lizhen|last3=Patrangenaru|first3=Victor|date=2016|publisher=Springer New York|isbn=978-1-4939-4030-1|series=Springer Texts in Statistics|location=New York, NY|doi=10.1007/978-1-4939-4032-5}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|title=A Modern Introduction to Probability and Statistics|url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde|url-access=limited|last=Dekking|first=Michel|publisher=Springer|year=2005|isbn=9781852338961|pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n191 181]–190}}</ref> برای دنباله نامتناهی ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... که شامل [[متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان|متغیر های تصادفی مستقل با توزیع یکسان]] و با امید ریاضی های برابر ( E(''X''<sub>1</sub>) = E(''X''<sub>2</sub>) = ...= ''µ )'' باشد، هر دو شکل قانون - با قطعیتی نسبی - بیان می‌دارد که میانگین نمونه
<math>\overline{X}_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n) </math>
به امید ریاضی اعضای دنباله میل می‌کند:
{{NumBlk|:|<math>\overline{X}_n \to \mu \quad\textrm{as}\ n \to \infty.</math>|{{EquationRef|law. 1}}}}
با فرض متناهی بودن واریانس<math> \operatorname{Var} (X_i)=\sigma^2 </math> (به ازای هر i) و عدم وجود همبستگی بین متغیر های تصادفی، واریانس میانگین n متغیر تصادفی برابر است با:
<math>
\operatorname{Var}(\overline{X}_n) = \operatorname{Var}(\tfrac1n(X_1+\cdots+X_n)) = \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}(X_1+\cdots+X_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}.
</math>
توجه کنید که فرض متناهی بودن واریانس ها <math> \operatorname{Var}(X_1) = \operatorname{Var}(X_2) = \ldots = \sigma^2 < \infty </math> '''الزامی''' نیست. نامتناهی یا بزرگ بودن واریانس باعث آرام شدن همگرایی می‌شود، اما در هر صورت قانون اعداد بزرگ صدق می‌کند. این فرض معمولا برای این استفاده می‌شود تا اثبات ها راحت و کوتاه تر شوند.
در هر دو شکل قانون، استقلال همزمان بین همه ی متغیر ها می‌تواند با استقلال دو به دوی آنها جایگزین شود.<ref>{{cite journal|last1=Etemadi|first1=N.Z.|date=1981|title=An elementary proof of the strong law of large numbers|journal=Wahrscheinlichkeitstheorie Verw Gebiete|volume=55|issue=1|pages=119–122|doi=10.1007/BF01013465|s2cid=122166046}}</ref>
تفاوت میان شکل قوی و ضعیف به دلیل تفاوت میان همگرایی است. برای اطلاعات بیشتر در مورد این نوع ها، [[همگرایی متغیرهای تصادفی|همگرایی متغیر های تصادفی]] را ببینید.
=== قانون ضعیف ===
میتوان قانون اعداد بزرگ را به صورت خلاصه شده به شکل زیر نوشت:
| |||