تابع پیوسته: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جزبدون خلاصۀ ویرایش
ویژگی پیوندهای پیشنهادی: ۴ پیوند افزوده شد.
برچسب‌ها: ویرایشگر دیداری ویرایش همراه ویرایش از وبگاه همراه ویرایش پیشرفتهٔ همراه وظیفه تازه‌وارد پیشنهادی: افزودن پیوند
خط ۴:
پیوستگی توابع یکی از مفاهیم بنیادی و مرکزی در [[توپولوژی]] است، که در ادامه به طور کامل به آن پرداخته خواهد شد. بخش مقدماتی این مقاله به حالت خاصی که ورودی و خروجی تابع اعداد حقیق اند پرداخته خواهد شد. شکل قوی تر پیوستگی، پیوستگی یکنواخت است. به علاوه، این مقاله به بحث در مورد تعریف پیوستگی توابع، در حالت کلی تر بین فضاهای متری خواهد پرداخت. در نظریه ترتیب، به‌خصوص در نظریه دامنه، مفهوم پیوستگی را به اسم پیوستگی اسکات می شناسند. دیگر اشکال پیوستگی نیز وجود دارند ولی در این مقاله به آن ها پرداخته نمی‌شود.
 
به عنوان مثالی از توابع پیوسته، تابع <math>H(t)</math> که نشان دهنده ارتفاع یک گل بر حسب زمان است را می توان در نظر گرفت. در مقایسه، تابع <math>M(t)</math> که نشانگر مقدار پول در [[حساب بانکی]] بر حسب زمان است را می توان تابعی ناپیوسته در نظر گرفت، چرا که در آن "پرش" هایی در نقاطی که مقداری پول به حساب واریز یا از آن بیرون کشیده می شود وجود خواهد داشت.
 
 
==تاریخچه==
تعریف اپسیلون-دلتا از پیوستگی اولین بار توسط [[برنارد بولتسانو|برنارد بولزانو]] در ۱۸۱۷ داده شد. [[آگوستین لویی کوشی]] پیوستگی <math>y=f(x)</math> را به این صورت تعریف کرد: هر افزایش [[بی‌نهایت|بی نهایت]] کوچکی چون <math>\alpha</math> در متغیر مستقل <math>x</math>، همیشه منجر به افزایش بی نهایت کوچک <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> در متغیر وابسته <math>y</math> شود (به عنوان مثال ''Cours d'Analyse'' صفحه ۳۴ را ببینید). کوشی مقادیر بی نهایت کوچک را بر حسب متغیر ها بیان کرد، و این تعریف از پیوستگی قرابت نزدیکی با تعریف [[بی‌نهایت‌کوچک‌ها|بی‌نهایت‌کوچک‌هایی]] که امروزه استفاده می شوند داشت (بحث [[میکرو پیوستگی]] را ببینید). تعریف صوری و تمایز بین پیوستگی نقطه ای و [[پیوستگی یکنواخت]] اولین بار توسط بولزانو در دهه ۱۸۳۰ میلادی ارائه شد، اما اثر او تا دهه ۱۹۳۰ انتشار نیافت.
 
== پیوستگی توابع و قضایای آن ==
تابع پیوسته f در نقطه a تابعی است که در نقطه a تعریف شده، و هم چنین [[حد تابع]] در آن نقطه موجود و برابر f(a)  باشد. در تعریف هندسی می گوییم، تابعی پیوسته‌ است که بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.
 
=== تعریف ریاضی پیوستگی ===
خط ۴۰:
زیرمجموعه بازی از <math>X</math> باشد. یعنی <math>f</math> یک تابع بین دو مجموعه <math>X</math> و <math>Y</math> است (نه روی عناصر <math>\tau_X</math>)، اما پیوستگی <math>f</math> به ساختار توپولوژی تعریف شده روی <math>X</math> و <math>Y</math> بستگی دارد.
 
به طور معادل می توان گفت که تصویر عکس هر [[مجموعه بسته]] (که متمم مجموعه های باز اند) از <math>Y</math> در <math>X</math> هم بسته است.
 
مثلاً اگر <math>X</math> [[توپولوژی گسسته]] باشد، تمام توابعی چون <math>f\colon X\rightarrow T</math> پیوسته خواهند بود.