تقسیم اقلیدسی: تفاوت میان نسخه‌ها

به ازای [[اعداد صحیح]] a و b که b مخالف صفر باشد، اعداد صحیح یکتایی مانند q و r وجود دارند به طوریکه:

{{وسط‌چین}}

 

(در این تعریف، q را [[خارج قسمت]]، r را [[باقی‌مانده]]، a را [[مقسوم]] و b را [[مقسوم‌علیه]] می‌نامند)

==اثبات==

در واقع در اثبات قضیه، مجموعه {a−|b|q>0:q∈Z}{a−|b|q>0:q∈Z} را در نظر میگیریم و نشان می دهیم که غیر تهی است و دارای کوچکترین عضو است و کوچکترین عضو آن را با rr نمایش می دهیم. یعنی به ازای عددی صحیح qq داریم r=a−b|q|r=a−b|q| . اگر r>|b|r>|b| در اینصورت r−b=a−b(q+1)r−b=a−b(q+1) که بنابر تعریف عضوی از مجموعه ی بالا است. اما r−|b|<rr−|b|<r که این با کوچکترین عضو بودن rr در تناقض است. پس باید r≤|b|r≤|b| .