برآوردگر سازگار: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
Rezaei.mh66 (بحث | مشارکت‌ها) بدون خلاصۀ ویرایش |
Rezaei.mh66 (بحث | مشارکت‌ها) بدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۱:
{{منبع}}
در[[آمار]]، دنباله ای از [[برآوردگر]] ها برای پارامتر ''θ''<sub>0</sub> سازگار نامیده می شوند (یا سازگاری مجانبی) اگر این دنباله در احتمال به ''θ''<sub>0</sub> همگرا شود. این بدین معناست که توزیع های برآوردگر ها بیشتر و بیشتر در نزدیکی مقدار واقعی آن پارامتری که تخمین زده می شود، متمرکز شوند. در نتیجه احتمال اینکه نخمین زن بطور اختیاری به ''θ''<sub>0</sub> نزدیک شود، به یک همگرا می شود.
در عمل ممکن است که شخصی برآوردگری را بسازد که تابعی از نمونه ی موجود با اندازه ی n است، سپس این طور تصور می کند که قادر است به جمع آوری داده ادامه دهد و نمونه را تا بینهایت توسعه دهد. از این طریق دنباله ای از برآوردگرها با اندیس n به دست می آید و مفهوم سازگاری با "میل به بینهایت" درک می شود. اگر این دنباله در احتمال به مقدار درست ''θ''<sub>0</sub> همگرا شود، برآوردگر را سازگار می نامند؛ در غیر این صورت برآوردگر را ناسازگار می نامند.
خط ۷:
==تعریف==
به بیانی ساده، برآوردگر ''T<sub>n</sub>'' پارامتر ''θ'' سازگار نامیده می شود اگر در احتمال به مقدار واقعی پارامتر همگرا شود:
<math>
\underset{n\to\infty}{\operatorname{plim}}\;T_n = \theta.
</math>
تعریف کامل تر به این حقیقت توجه دارد که در واقع ''θ'' نامشخص است، و بنابراین همگرایی در احتمال باید برای هر مقدار احتمالی این پارامتر اتفاق بیفتد. فرض کنید که {{nowrap|{''p<sub>θ</sub>'': ''θ'' ∈ Θ}}} یک خانواده از توزیع ها (مدل پارامتری) باشد، و {{nowrap|1=''X<sup>θ</sup>'' = {''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, … : ''X<sub>i</sub>'' ~ ''p<sub>θ</sub>''}}} یک نمونه ی نامتناهی از توزیع ''p<sub>θ</sub>'' باشد. فرض کنید که { ''T<sub>n</sub>''(''X<sup>θ</sup>'') } یک دنباله از برآوردگرها برای بعضی از پارامترهای (''g''(''θ'' باشد. معمولاَ ''T<sub>n</sub>'' بر اساس اولین n مشاهده ی یک نمونه می باشد. پس این دنباله {''T<sub>n</sub>''} (بطور ضعیف) سازگار نامیده می شود اگر :
<math>
\underset{n\to\infty}{\operatorname{plim}}\;T_n(X^{\theta}) = g(\theta),\ \ \text{for all}\ \theta\in\Theta
</math>
این تعریف از ''g''(''θ'') به جای θ استفاده می کند، چون اغلب به تخمین زدن یک تابع مشخص یا یک زیر بردار از پارامتر مورد بررسی علاقه دارد. در مثال بعدی ما موقعیت و مکان پارامتر مدل را برآورد می کنیم، نه مقیاس آن :
===مثال: میانگین نمونه برای متغیرهای تصادفی نرمال===
فرض کنید که یک دنباله از مشاهدات بصورت {''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, …} از یک توزیع نرمال ''N''(''μ'', ''σ''<sup>2</sup>)]] داریم. برای برآورد کردن μ بر اساس اولین n مشاهده، ما از میانگین نمونه استفاده می کنیم:
| |||