تفاوت میان نسخه‌های «توابع معکوس مثلثاتی»

بدون خلاصه ویرایش
 
تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:
==رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی==
[[Image:Arcsine Arccosine.svg|168px|thumb|نمودار تابع های<math>\operatorname{arcsin}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccos}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]]
[[Image:Arctangent Arccotangent.svg|294px|thumb|نمودار تابع های<math>\operatorname{arctan}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccot}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]]
[[Image:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|thumb|نمودار تابع های<math>\operatorname{arcsec}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccsc}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]]
 
زاویه‌های مکمل:
{{چپ‌چین}}
:<math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x </math>
 
:<math>\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x </math>
 
:<math>\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x </math>
{{پایان چپ‌چین}}
ورودی‌های با علامت مخالف:
{{چپ‌چین}}
:<math>\arcsin (-x) = - \arcsin x \!</math>
:<math>\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!</math>
:<math>\arctan (-x) = - \arctan x \!</math>
:<math>\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!</math>
:<math>\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!</math>
:<math>\arccsc (-x) = - \arccsc x \!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
ورودی‌های وارون شده:
{{چپ‌چین}}
:<math>\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,</math>
:<math>\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,</math>
:<math>\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x > 0 \,</math>
:<math>\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x < 0 \,</math>
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x > 0 \,</math>
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x < 0 \,</math>
:<math>\arcsec (1/x) = \arccos x \,</math>
:<math>\arccsc (1/x) = \arcsin x \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0 \leq x \leq 1 </math>
:<math>\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).
 
با استفاده از رابطهٔ [[رابطه‌های نیم-زاویه|نیم-زاویه]] <math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} </math> خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}</math>
 
:<math>\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 < x \leq +1 </math>
 
:<math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
==رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی==
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math>
 
:<math>\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
 
:<math>\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
 
:<math>\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 
:<math>\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
 
==منبع==
*{{یادکرد-ویکی