تفاوت میان نسخه‌های «توابع معکوس مثلثاتی»

{{پایان چپ‌چین}}
 
==راه حل کلی==
تابع‌های مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابع‌های متناوب اند و در بازه‌هایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آن‌ها مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب تابع‌های سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود، درنتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود و مقدار تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود، و تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز می‌گردد.
 
این تناوب در تابع‌های وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه ''k'' عدد صحیحی است داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi</math>
:<math>\cos(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccos(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos(x) + 2k\pi</math>
:<math>\tan(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arctan(x) + k\pi</math>
:<math>\cot(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccot(x) + k\pi</math>
:<math>\sec(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsec(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arcsec (x) + 2k\pi</math>
:<math>\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi</math>
 
{{پایان چپ‌چین}}
==مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی==
{{نوشتار اصلی|مشتق تابع‌های مثلثاتی}}
[[مشتق]] ساده این نوع تابع‌ها، به ازای ''x''‌های مختلط و حقیقی به قرار زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x\,\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x\,\sqrt{x^2-1}}
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
رابطه‌های زیر ویژهٔ ''x''‌های حقیقی است:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای مشتق ساده اگر <math>\theta = \arcsin x \!</math> باشد، آنگاه داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
==استفاده از انتگرال‌های معین==
عبارت انتگرالی برابر تابع‌های وارون مثلثاتی به قرار زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{align}
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
\arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arcsec x &{}= \pi + \int_x^{-1} \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1\\
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x &{}= \int_{-\infty}^x \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
<!-- When x equals 1, the integrals with limited domains are improper integrals, but still well-defined. -->
==سری‌های نامتناهی==
مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز می‌توان به کمک [[سری (ریاضیات)|سری‌های نامتناهی]] محاسبه کرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}
</math>
<!-- extra blank line for legibility -->
:<math>
\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}
</math>
 
<!-- extra blank line for legibility -->
 
:<math>
\begin{align}
\arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}
</math>
 
<!-- extra blank line for legibility -->
 
:<math>
\begin{align}
\arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}
</math>
 
<!-- extra blank line for legibility -->
 
:<math>
\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos {(1/z)} \\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)}
; \qquad \left| z \right| \ge 1
\end{align}
</math>
 
<!-- extra blank line for legibility -->
 
:<math>
\begin{align}
\arccsc z & {}= \arcsin {(1/z)} \\
& {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad \left| z \right| \ge 1
\end{align}
</math>
 
<!-- extra blank line for legibility -->
 
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین [[لئونارد اویلر]] برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
:<math>\arctan z = \frac{z}{1+z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
''هشدار'': به ازای ''n''= ۰ عبارت به یک [[ضرب تهی]] تبدیل می‌شود که خود برابر با ۱ است.
همچنین در ادامه می‌توان نشان داد که:
{{چپ‌چین}}
:<math>\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\left(1+z^2\right)^{n+1}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
==انتگرال نامعین تابع‌های وارون مثلثاتی==
برای تمامی ''x''‌های حقیقی و مختلط، رابطه‌های زیر برقرار است:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right) + C
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
تنها برای ''x'' ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
تمامی رابطه‌های بالا به کمک انتگرال‌گیری جزء به جژء قابل دستیابی است.
===نمونه===
با استفاده از <math>\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u</math> داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{align}
u &{}=&\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\
\mathrm{d}u &{}=&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&\quad\quad{}v = x
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
آنگاه:
{{چپ‌چین}}
:<math>\int \arcsin(x)\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با استفاده از [[انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر|تغییر متغیر]]:
{{چپ‌چین}}
: <math>k = 1 - x^2.\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس:
{{چپ‌چین}}
: <math>\mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و
{{چپ‌چین}}
:<math>\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
دوباره ''x'' را جایگزین می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C </math>
{{پایان چپ‌چین}}
==منبع==
*{{یادکرد-ویکی
|بازیابی = ۷ سپتامبر ۲۰۱۱
}}
==جستارهای وابسته==
*[[سینوس (ریاضیات)]]
*[[فهرست اتحادهای مثلثاتی]]
*[[ریشه دوم]]
*[[تابع وارون هذلولی]]
 
[[رده:مثلثات]]
[[رده:توابع ریاضی]]