ویکی‌پدیا

فازور: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
ظاهرا فارسی‌ساز ارقام فرمول‌ها را خراب کرده بود
Reza1615 (بحث | مشارکت‌ها)
۵۲٬۹۸۶ ویرایش‌ها
بدون خلاصۀ ویرایش
خط ۱:
{{ویکی‌سازی}}
'''فازور''' یا '''فِیزور''' یکی از مهمترین ابزارهای تحلیل مدارهای RLC است. با تحلیل فازوری می توانمی‌توان پاسخ حالت دائمی سینوسی به یک ورودی خاص را به دست آورد. علاوه بر نظریه ینظریهٔ مدار در الکترومغناطیس هم از فازورها برای حل حوزه یحوزهٔ فرکانس معادلات موج استفاده می شودمی‌شود. همچنین با استفاده از فازورها می توانمی‌توان امپدانس و توان مختلط و تابع تبدیل شبکه را در نظریه ینظریهٔ مدار و بردار پویین تینگ را در الکترومغناطیس تعریف کرد.
فازورها را می توانمی‌توان به عنوان یکی از مهمترین و کاربردی ترین نتایج تبدیل فوریه قلمداد کرد. به عبارت دیگر با اعمال تبدیل فوریه به یک تابع سینوسی آن تابع از حوزه یحوزهٔ زمان به حوزه یحوزهٔ فازور می رودمی‌رود.
 
می===تعریف دانیمفازور=== می‌دانیم که طبق فرمول اولر برای توابع نمایی با توان موهومی محض داریم:▼
===تعریف فازور===
▲می دانیم که طبق فرمول اولر برای توابع نمایی با توان موهومی محض داریم:
:<math>A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A \cdot \frac{e^{i(\omega t + \theta)} + e^{-i(\omega t + \theta)}}{2},</math> &nbsp; &nbsp;
در نتیجه می توانمی‌توان نوشت:
:<math>
\begin{align}
سطر ۲۰ ⟵ ۱۹:
\end{align}
</math>
هر عبارت مثلثاتی را می توانمی‌توان به صورت بخش حقیقی یا موهومی مجموع چند عبارت نمایی با توان موهومی محض نوشت. هر سیگنال سینوسی متغیر با زمان را می توانمی‌توان با فازور متناظر با آن سیگنال به طور یکتا تعیین کرد. طبق تعریف عبارت &nbsp;<math>A e^{i\theta}\,</math> &nbsp; را به عنوان فازور متناظر با کمیت سینوسی متغیر با زمان با دامنه یدامنهٔ A، فرکانس ω و فاز اولیه یاولیهٔ θ تعریف می شودمی‌شود. شیوه یشیوهٔ دیگر نمایش یک فازور به صورت A∠θ است. می‌توان اینگونه تصور کرد که در صفحهٔ مختلط فازور A∠θ یک بردار با اندازهٔ A است که در لحظهٔ t=0 با محور حقیقی زاویهٔ θ را می‌سازد و در حال چرخش با سرعت زاویه‌ای ω حول مبدأ مختصات است.
از دیدگاهی دیگر می توانمی‌توان گفت که هر سیگنال سینوسی با استفاده از سه کمیت A ،A، ω و θ به صورت یکتا تعیین می شودمی‌شود. فازور A∠θ دو کمیت A و θ را مشخص می کندمی‌کند.▼
می توان اینگونه تصور کرد که در صفحه ی مختلط فازور A∠θ یک بردار با اندازه ی A است که در لحظه ی t=۰ با محور حقیقی زاویه ی θ را می سازد و در حال چرخش با سرعت زاویه ای ω حول مبدأ مختصات است.
 
▲از دیدگاهی دیگر می توان گفت که هر سیگنال سینوسی با استفاده از سه کمیت A ، ω و θ به صورت یکتا تعیین می شود. فازور A∠θ دو کمیت A و θ را مشخص می کند.
=== خواص فازورها ===
== ضرب فازور در عدد ثابت ==
با ضرب فازور &nbsp;<math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}\,</math> در عدد مختلط ثابت B∠φ فازور جدیدی به دست می آیدمی‌آید که اندازه یاندازهٔ آن برابر حاصل ضرب اندازه یاندازهٔ فازور در اندازه یاندازهٔ عدد مختلط است و زاویه یزاویهٔ آن مجموع زاویه یزاویهٔ فازور و عدد مختلط است. یعنی:
:<math>
\begin{align}
سطر ۳۳ ⟵ ۳۲:
\end{align}
</math>
 
== جمع فازورها ==
برای محاسبه یمحاسبهٔ حاصل جمع دو یا چند سیگنال سینوسی با فرکانس برابر می توانمی‌توان به جای استفاده از بسطهای مثلثاتی و محاسبات طولانی مربوط به این کار، فازورهای متناظر با این سیگنالها را باهم جمع کرد. یعنی:
:<math>
\begin{align}
خط ۵۰:
</math>
:<math>
\theta_3 = \arctan{\left(\frac{A_1 \sin{\theta_1} + A_2 \sin{\theta_2}}{A_1 \cos{\theta_1} + A_2 \cos{\theta_2}}\right)}
</math>
 
== مشتق گیری و انتگرالگیری از فازورها ==
از حساب دیفرانسیل و انتگرال (calculus) می دانیممی‌دانیم که مشتق هر سیگنال سینوسی متغیر با زمان با فرکانس ω برابر یک سیگنال سینوسی است که فاز آن با۹۰با90 درجه جمع شده و دامنه یدامنهٔ آن در ω ضرب شده استشده‌است. با استفاده از فازورها می توانمی‌توان این حقیقت را به شکل زیباتر و کاربردی تری نمایش داد.
:<math>
\begin{align}
سطر ۶۳ ⟵ ۶۴:
\end{align}
</math>
از آنجا که عمل انتگرالگیری عکس عمل مشتق گیری است می توانمی‌توان گفت که با انتگرالگیری از یک سیگنال سینوسی فازور متناسب با آن بر ω تقسیم و فاز آن ۹۰90 درجه کم می شودمی‌شود.
با استفاده از این حقیقت می توانمی‌توان برخی معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه یاولیهٔ خاص را به معادلات جبری در حوزه یحوزهٔ فازور تبدیل و حل کرد.
 
مثال'':'' برای مدار RC که با یک منبع سینوسی تحریک شده استشده‌است با ولتاژ اولیه یاولیهٔ صفر برای خازن داریم:
 
:<math>\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)</math>
سطر ۸۳ ⟵ ۸۴:
<math>\frac{d\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} + \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\}</math>
 
:<math>\frac{d\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt}
= \operatorname{Re} \left\{ \frac{d\left( V_c \cdot e^{i\omega t}\right)}{dt} \right\}
= \operatorname{Re} \left\{ i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} \right\}</math>
 
:<math>\frac{d\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt}
= \operatorname{Im} \left\{ \frac{d\left( V_c \cdot e^{i\omega t}\right)}{dt} \right\}
= \operatorname{Im} \left\{ i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} \right\}</math>
 
سطر ۱۰۳ ⟵ ۱۰۴:
</math>
 
با تبدیل عبارت فازوری به عبارت مثلثاتی و رفتن از حوزه یحوزهٔ فازور به حوزه یحوزهٔ زمان داریم'':''
:<math>v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))</math>
 
که در آن
 
:<math>\phi(\omega) = \arctan(\omega RC). \,</math>
 
== فازورها در تحلیل مدارهای RLC ==
از نظریه ینظریهٔ مدار می دانیممی‌دانیم که مشخصه ولتاژ-جریان یک مقاومت خطی است؛ یعنی ولتاژ آن ضریبی از جریان آن است. همچنین بین رابطه یرابطهٔ ولتاژ و جریان سلف و خازن رابطه ایرابطه‌ای دیفرانسیلی است.(ولتاژ سلف با مشتق جریان آن و جریان خازن با مشتق ولتاژ آن متناسب است) برای تحلیل یک مدار RLC با استفاده از قوانین کیرشهف و روشهای تحلیل مش و تحلیل گره برای هر ولتاژ یا جریان مربوط به یک شاخه یا مش خاص به یک معادله یمعادلهٔ دیفرانسیل خطی مرتبه یمرتبهٔ nام می رسیممی‌رسیم. حل مدار با استفاده از این روش بسیار طولانی و طاقت فرسا است. می توانمی‌توان با فرض صفر بودن ولتاژ اولیهاولیهٔ ی خازن هاخازن‌ها وجریان اولیه سلف هاسلف‌ها و سینوسی بودن منابع، از فازورها برای حل دقیق مدار استفاده کرد. اگر شرایط اولیهاولیهٔ ی سلف هاسلف‌ها یا خازن هاخازن‌ها غیر صفر باشد و لی منبع سینوسی باشد. آنگاه می توانمی‌توان با تحلیل فازوری پاسخ دائمی مدار را به دست آورد، ولی درباره یدربارهٔ پاسخ گذرای آن نمی تواننمی‌توان اظهار نظر کرد.▼
 
با استفاده از فازورها می توانمی‌توان قانون اهم را که در حوزه یحوزهٔ زمان فقط درباره ی مقاومتدربارهٔ هامقاومت‌ها برقرار است در حوزه یحوزهٔ فازور علاوه بر مقاومتها برای سلف هاسلف‌ها و خازن هاخازن‌ها نیز نوشت. بدین ترتیب ما در حوزه یحوزهٔ فازور به جای مقاومت، مفهوم امپدانس (با کمی اغماض مقاومت مختلط) را تعریف می کنیممی‌کنیم. امپدانس مفهومی بسیار وسیع تر و کاربردی تر از مقاومت است. طبق تعریف امپدانس یک المان برابر نسبت فازور ولتاژ آن المان به فازور جریانش است. برای مقاومت، سلف و خازن خطی تغییر ناپذیر با زمان به سادگی می توانمی‌توان نشان داد که▼
▲از نظریه ی مدار می دانیم که مشخصه ولتاژ-جریان یک مقاومت خطی است؛ یعنی ولتاژ آن ضریبی از جریان آن است. همچنین بین رابطه ی ولتاژ و جریان سلف و خازن رابطه ای دیفرانسیلی است.(ولتاژ سلف با مشتق جریان آن و جریان خازن با مشتق ولتاژ آن متناسب است) برای تحلیل یک مدار RLC با استفاده از قوانین کیرشهف و روشهای تحلیل مش و تحلیل گره برای هر ولتاژ یا جریان مربوط به یک شاخه یا مش خاص به یک معادله ی دیفرانسیل خطی مرتبه ی nام می رسیم. حل مدار با استفاده از این روش بسیار طولانی و طاقت فرسا است. می توان با فرض صفر بودن ولتاژ اولیه ی خازن ها وجریان اولیه سلف ها و سینوسی بودن منابع، از فازورها برای حل دقیق مدار استفاده کرد. اگر شرایط اولیه ی سلف ها یا خازن ها غیر صفر باشد و لی منبع سینوسی باشد. آنگاه می توان با تحلیل فازوری پاسخ دائمی مدار را به دست آورد، ولی درباره ی پاسخ گذرای آن نمی توان اظهار نظر کرد.
▲با استفاده از فازورها می توان قانون اهم را که در حوزه ی زمان فقط درباره ی مقاومت ها برقرار است در حوزه ی فازور علاوه بر مقاومتها برای سلف ها و خازن ها نیز نوشت. بدین ترتیب ما در حوزه ی فازور به جای مقاومت، مفهوم امپدانس (با کمی اغماض مقاومت مختلط) را تعریف می کنیم. امپدانس مفهومی بسیار وسیع تر و کاربردی تر از مقاومت است. طبق تعریف امپدانس یک المان برابر نسبت فازور ولتاژ آن المان به فازور جریانش است. برای مقاومت، سلف و خازن خطی تغییر ناپذیر با زمان به سادگی می توان نشان داد که
 
<math>\ Z_R = R</math>
خط ۱۲۵:
:<math>\ Z_C = \frac{1}{j\omega C},</math>
 
در حالت کلی می توانمی‌توان امپدانس معادل یک شبکه یشبکهٔ متشکل از مقاومت، خازن و سلف خطی تغییر ناپذیر با زمان را به صورت Z=R+jX نشان داد. که در آن R بخش حقیقی امپدانس و X بخش موهومی آن است.
 
===اتصال سری و موازی امپدانس ها===▼
 
▲=== اتصال سری و موازی امپدانس ها ===
با استفاده از قوانین کیرشهف به راحتی می توانمی‌توان امپدانس معادل حاصل از بستن سری یا موازی چند امپدانس را به دست آورد. در اینجا ما فرمول امپدانس معادل برای دو امپدانس را می آوریممی‌آوریم. ولی به راحتی می توانمی‌توان این فرمول هافرمول‌ها را به n امپدانس تعمیم داد.
فرض کنید دو امپدانس math>\ Z_1 </math> و math>\ Z_2</math> به صورت سری بسته شده باشد آنگاه امپدانس معادل دیده شده از دو سر برابر است با:
 
:<math>\ Z_{\text{eq}} = Z_1 + Z_2</math>
 
حال فرض کنید دو امپدانس به صورت موازی با هم بسته شده باشند، آنگاه معکوس امپدانس معادل دیده شده از دو سر برابر است با جمع معکوس امپدانس هاامپدانس‌ها یعنی:
 
:<math>\frac{1}{Z_{\text{eq}}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}</math>
 
=== تابع تبدیل شبکه ===
برای هر متغیر شبکه (ولتاژ یا جریان یک المان خاص) تابع تبدیل شبکه در حالت فازوری به صورت نسبت فازور خروجی ( ولتاژ یا جریان آن المان ) به فازور ورودی تعریف می شودمی‌شود یعنی:▼
 
▲برای هر متغیر شبکه (ولتاژ یا جریان یک المان خاص) تابع تبدیل شبکه در حالت فازوری به صورت نسبت فازور خروجی ( ولتاژ یا جریان آن المان ) به فازور ورودی تعریف می شود یعنی:
 
 
:<math> H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} </math>
 
که در آن X فازور ورودی ( منبع ولتاژ یا جریان ) و Y فازور خروجی است.
 
== منابع ==
 
concepts in electric circuits-Dr Wasif Naeem
 
* نظریه‌ینظریهٔ اساسی مدارها و شبکه‌ها-ارنست کوه، چارلز دسو-ترجمه دکتر پرویز جبه دار مارلانی
 
[[رده:مدارهای الکتریکی]]
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/فازور»