معادله اویلر-لاگرانژ: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
←تاریخچه: عکس تصحیح شد. |
یک بخش به مقاله افزوده شد. |
||
خط ۵:
== تاریخچه ==
[[Image:Tautochrone curve.gif|300px|left|thumb|چهار نقطه از چهار موقعیتِ مختلف بر رویِ سیکلوئید رها می‌شوند، اما همگی در زمانِ یکسانی به پایینِ آن می‌رسند. پیکان‌هایِ آبی، شتابِ نقطه‌ها را در طولِ منحنی نشان می‌دهد. در بالا، نمودارِ زمان-مکان نمایش داده شده است.]]
معادله‌ی اویلر-لاگرانژ در دهه‌ی 1750 میلادی، به وسیله‌ی اویلر و لاگرانژ به دست آمد، زمانی که آن‌ها مشغولِ حلِ مسئله‌ی [[
لاگرانژ این مسئله را در سال 1755 حل کرد و جواب را برایِ اویلر فرستاد. این دو به کمکِ هم، متدِ لاگرانژ را گسترش دادند و در حلِ مسئله‌هایِ [[مکانیک]] به کار گرفتند، تلاشی که در نهایت به خلقِ [[مکانیک لاگرانژی]] ختم شد. مکاتبه‌هایِ آن‌ها، به خلقِ کاملِ ''حسابِ وردشی'' منجر شد، نخستین بار در سالِ 1766، اویلر بود که این نام را برایِ تکنیک‌های‌شان به کار برد.
== صورت معادله ==
معادله‌ی لاگرانژ، معادله‌ای است که با حلِ آن، تابعِ qای را می‌یابیم که به ازایِ آن، مقدارِ انتگرالِ پایین کمینه یا بیشینه می‌شود:
{{چپ‌چین}}
<math>\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t</math>:
{{پایان چپ‌چین}}
بخش‌هایِ مختلفِ این انتگرال عبارت‌اند از:
* <math>q</math>: تابع‌هایِ مختلفی وجود دارند که می‌توانند در داخلِ انتگرال قرار بگیرند. به ازایِ هر کدام از این تابع‌ها، مقدارِ انتگرال (بینِ دو کرانِ آن که مقدارهایی ثابت‌اند)، مقداری متفاوت می‌شود. ''q'' تابعی است که می‌خواهیم بیابیم و مقدارِ انتگرال را اکسترمم کند:
{{چپ‌چین}}
::<math>\begin{align}
q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to X \\
t & \mapsto x = q(t)
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
:که ''q'' مشتق‌پذیر است و ''q''(''a'') = ''x''<sub>''a''</sub> , ''q''(''b'') = ''x''<sub>''b''</sub> .
* <math>q'</math>: مشتقِ تابعِ ''q'' است.
{{چپ‌چین}}
::<math>\begin{align}
q' \colon [a, b] & \to T_{q(t)}X \\
t & \mapsto v = q'(t)
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
:که ''TX'' [[کلاف مماس|کلاف مماسیِ]] X است. (فضایِ مقدارهایِ ممکنِ مشتق‌هایِ تابع‌هایی که مقدارشان در X قرار دارد.)
* <math>L</math>: تابعی است که [[مشتق پاره‌ای|مشتق‌هایِ جزئیِ]] آن پیوسته‌اند:
{{چپ‌چین}}
::<math>\begin{align}
L \colon [a, b] \times X \times TX & \to \mathbb{R} \\
(t, x, v) & \mapsto L(t, x, v).
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
: L تابعی است ثابت و معین که به عنوانِ ورودیِ یک تابعِ دلخواهِ دیگر را (به همراهِ مشتقش) گرفته و ترکیبی از این تابع و مشتق‌اش را به عنوانِ خروجی ارائه می‌کند.
در این صورت معادله‌ی اویلر-لاگرانژ، معادله‌ی زیر است که هر تابعِ qای که در آن صدق کند، مقدارِ انتگرال را اکسترمم می‌کند:
:<math>L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.</math>
در رابطه‌ی بالا، ''L''<sub>''x''</sub> مشتقِ جزئیِ L نسبت به <math>q</math> و ''L''<sub>''v''</sub> مشتقِ جزئیِ L نسبت به <math>q'</math> می‌باشد.
[[رده:معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی]]
| |||