|
'''اصل موضوع چهارم اقلیدس'''
[[پرونده:Sanzio 01 Euclid.jpg|thumb|300px|]]
* همهٔ [[زاویه قائمه|زوایای قائمه]] با یک‌دیگر قابل انطباق اند.<ref>گرینبرگ ۱۵</ref>
'''هندسهٔ اقلیدسی''' به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات [[ریاضیات]]ی مثل [[نقطه]] و [[خط (ریاضی)|خط]] می‌پردازد و بر پایه‌هائی که [[اقلیدس]] ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام [[اصول اقلیدس (کتاب)|اصول]] عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ [[اصلِ موضوعه]]ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو [[بعد]] را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.
این اصل معیاری طبیعی برای اندازه‌گیری زاویه‌ها در اختیار می‌گذارد.
== تاریخچه ==
در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای [[هندسه]] در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب [[اصول (کتاب)|اصول]] بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند [[اصل موضوع]] و چند [[اصل متعارف]] را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.
اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن [[ریاضیات محض]] می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد.
برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:
* شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام [[بنداشت]] یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
* شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.
== اصول موضوعه ==
{{اصلی|اصول موضوعه هندسه اقلیدسی}}
تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج [[اصلِ موضوعه|اصلِ موضوعهٔ]] زیر استخراج شوند:
# از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.
# هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
# با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
# همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.
# اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه‌است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).<ref>[[w:en:Euclid's_postulates]]</ref>
برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ [[اثبات]] بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «[[تعریف‌نشده‌ها]]» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله [[خیام]] ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ [[تناقض]]ی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ [[هندسه نااقلیدسی]] را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ [[نسبیت عام]] به این پرسش پاسخ می‌دهد.
== اصول متعارفی ==
# دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.
# اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.
# اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.
# دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.
# کل از جزء بزرگ‌تر است.
== پس از اقلیدس ==
۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی [[فهرست ریاضیدانان|ریاضی‌دان‌ها]]ی زیادی کوشیدند [[اصل پنجم]] را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که [[هندسه نااقلیدسی|هندسه‌های نااقلیدسی]] نامیده می‌شود.
هندسه‌ای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود [[هندسه نتاری]] نامیده می‌شوند.
[[دیوید هیلبرت]] در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.
== جستارهای وابسته ==
* [[چهاراصل ضلعی ساکریموضوع]]
* [[اصل توازی پلی‌فیر]]
* [[فهرست بنداشت‌ها]]
* [[هندسه نااقلیدسی|هندسه‌های نااقلیدسی]]
* [[هندسه هذلولوی|هندسهٔ هذلولوی]]
* [[هندسه ریمانی|هندسهٔ ریمانی]]
* [[هندسه بیضوی|هندسهٔ بیضوی]]
== پانویس ==
== منابع ==
* {{یادکرد|فصل=|کتاب=[[هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی (کتاب)|هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی]]|نویسنده = گرینبرگ، ماروین جی|ترجمه=[[محمد هادی شفیعیها|م.ه. شفیعیها]]|ناشر =[[مرکز نشر دانشگاهی]]|چاپ= دوم|شهر= [[تهران]]|ویرایش= ویراستهٔ [[احمد بیرشک]]، حمید کاظمی، همایون معین|صفحه= |سال= ۱۳۶۳|شابک=}}
|نویسنده = گرینبرگ، ماروین جی|ترجمه=[[محمد هادی شفیعیها|م. ه. شفیعیها]]|ناشر =[[مرکز نشر دانشگاهی]]|چاپ= دوم|شهر= [[تهران]]|ویرایش= ویراستهٔ [[احمد بیرشک]]، حمید کاظمی، همایون معین|صفحه= |سال= ۱۳۶۳|شابک=}}
# [[پرویز شهریاری|شهریاری، پرویز]]، ''هندسه در گذشته و حال''، انتشارات سیمرغ.
{{ریاضی-خرد}}
{{هندسه}}
[[رده:اصل‌ها]]
[[رده:هندسه اقلیدسی]]
[[رده:مبانی هندسه]]
{{Link GA|fr}}
[[af:Euklidiese meetkunde]]
[[ar:هندسة أقليدية]]
[[ast:Xeometría euclídea]]
[[az:Evklid həndəsəsi]]
[[be-x-old:Эўклідава геамэтрыя]]
[[bg:Евклидова геометрия]]
[[ca:Geometria euclidiana]]
[[ckb:ئەندازەی ئیقلیدسی]]
[[cs:Eukleidovská geometrie]]
[[cv:Евклид геометрийĕ]]
[[da:Euklidisk geometri]]
[[de:Euklidische Geometrie]]
[[el:Ευκλείδεια γεωμετρία]]
[[en:Euclidean geometry]]
[[eo:Eŭklida geometrio]]
[[es:Geometría euclídea]]
[[et:Eukleidese geomeetria]]
[[fi:Euklidinen geometria]]
[[fr:Géométrie euclidienne]]
[[he:גאומטריה אוקלידית]]
[[hi:यूक्लिडीय ज्यामिति]]
[[hu:Euklideszi geometria]]
[[hy:Էվկլիդյան երկրաչափություն]]
[[id:Geometri Euklides]]
[[it:Geometria euclidea]]
[[ja:ユークリッド幾何学]]
[[jbo:euklidi tamcmaci]]
[[ko:유클리드 기하학]]
[[mk:Евклидова геометрија]]
[[ms:Geometri Euclid]]
[[nl:Euclidische meetkunde]]
[[nn:Euklidsk geometri]]
[[no:Euklidsk geometri]]
[[pl:Geometria euklidesowa]]
[[pms:Geometrìa euclidéa]]
[[pt:Geometria euclidiana]]
[[ro:Geometrie euclidiană]]
[[ru:Евклидова геометрия]]
[[simple:Euclidean geometry]]
[[sk:Euklidovská geometria]]
[[sl:Evklidska geometrija]]
[[sr:Еуклидова геометрија]]
[[sv:Euklidisk geometri]]
[[tr:Öklid geometrisi]]
[[tt:Евклидча геометрия]]
[[uk:Евклідова геометрія]]
[[vi:Hình học Euclid]]
[[zh:欧几里得几何]]
| 