|
'''معادلهٔ شرودینگر'''
''معادله شرودینگر'' ، معادله ای است که چگونگی تغییر حالت کوانتومی یک سامانه فیزیکی با زمان را توصیف می کند . این معادله در اواخر سال 1925 فرمول بندی شد و در سال 1926 به وسیله فیزیکدان اتریشی اروین شرودینگر منتشر گردید .
در مکانیک کلاسیک ،کلاسیک، معادله حرکت قانون دوم نیوتن است و فرمولبندی های معادل آن ،آن، معادله اویلر-لاگرانژ و معادله هامیلتون هستند. در همه این فرمول بندی ها ،ها، برای حل حرکت یک سیستم مکانیکی و پیشگویی ریاضی اینکه سامانه در هر زمان پس از شرایط و پیکربندی های اولیه سیستم چه حالتی خواهد داشت ،داشت، استفاده می شوند.
در مکانیک کوانتومی حالت آنالوگ قانون نیوتن معادله شرودینگر برای یک سامانه کوانتومی ،کوانتومی، معمولاً اتم ها ، مولکولهاها، ،مولکولها، ذرات ریز اتمی (آزادآزاد، ، بسته ،بسته، موضعی) است . این معادله یک معادله جبری ساده نیست ولی (عموماً) یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است . معادله دیفرانسیل شامل تابع موج برای سیستم است . همچنین حالت کوانتومی یا بردار حالت نامیده می شود .
در تفسیر استاندارد از مکانیک کوانتومی ،کوانتومی، تابع موج کاملترین توضیحی است که می توان در مورد یک سامانه فیزیکی داد . راه حل های معادله شرودینگر نه تنها سامانه های مولکولی ،مولکولی، اتمی و ریز اتمی را توصیف می کند بلکه سیستم های ماکروسکوپی ،ماکروسکوپی، حتی کل جهان را نیز توصیف می کنند .
همانند قانون دوم نیوتن ،نیوتن، معادله شرودینگر از لحاظ ریاضی می تواند به فرمولبندی های دیگر از جمله مکانیک ماتریسی ورنر هایزنبرگ و فرمولبندی انتگرال سطحی زیمان تبدیل شود . همچنین همانند قانون دوم نیوتون ،نیوتون، معادله شرودینگر زمان را به طریقی توصیف می کند که برای نظریه های نسبیتی مناسب نیست . مشکلی که در مکانیک ماتریسی به اندازه کافی شدید نیست و در فرمولبندی انتگرال سطحی به طور کامل حضور ندارد .
'''فهرست'''
1.2- معادله مستقل از زمان
2- مفاهیم
2.1- انرژی کل ،کل، جنبشی و پتانسیل
2.2- کوانتش
2.3- اندازه گیری و عدم قطعیت
'''معادله وابسته به زمان'''
شکل معادله شرودینگر به شرایط فیزیکی بستگی دارد (پایین را برای موارد خاص مشاهده کنید) . عمومی ترین شکل آن معادله شرودینگر وابسته به زمان است که شرحی از سیستم در حال تکامل با زمان ،زمان، می دهد:
'''عادله وابسته به زمان شرودینگر(عمومی)'''
<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi</math>
که ''[[سای (حرف)]]'' تابع موج سیستم کوانتومی ،کوانتومی، ''i'' واحد موهومی ،موهومی، ''ħ'' ثابت کاهیده پلانک و<math>\hat{H} </math> عملگر هامیلتونی است که انرژی کل به ازای هر تابع موج داده شده را مشخص می کند و شکل های مختلفی را بسته به شرایط ،شرایط، به خود می گیرد .
معروفترین نمونه آن معادله غیر نسبیتی شرودینگر برای ذره ای که در میدان الکتریکی در حال حرکت است ،است، می باشد (نه در میدان مغناطیسی) .
'''عادله وابسته به زمان شرودینگر برای ذره غیر نسبیتی مفرد'''
<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf {r},t) \Psi(\mathbf{r},t)</math>
که ''m'' جرم ذره ،ذره، ''V'' انرژی پتانسیل آن ، <sup>2</sup>∇ لاپلاسین و ''Ψ''تابع موج است (که با دقت بیشتر ، در این متن ،متن، تابع موج فضا مکان نامیده می شود) . به عبارت دیگر این معادله می تواند اینگونه توصیف شود : "انرژی کل برابر است با انرژی جنبشی بعلاوه انرژی پتانسیل" ، اما کلمات شکل نا مأنوسی به دلایلی که در زیر شرح داده شده اند به خود می گیرند .
با توجه به عملگر های دیفرانسیلی خاص درگیر ،درگیر، این معادله ،معادله، یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است و همانطور که از اسمش بر می آید معادله موج است .
لفظ "معادله شرودینگر" به هر دو ،دو، معادله عمومی (اولین جعبه بالا) یا نوع خاص غیر نسبیتی آن (دومین جعبه بالا) اشاره می کند. معادله عمومی به طور واقعی کاملاً عمومی است ،است، که به وسیله مکانیک کوانتومی و برای همه چیز از معادله دیراک گرفته تا برای نظریه کوانتومی به وسیله تبدیل شدن به عبارات پیچیده مختلف برای هامیلتونی ،هامیلتونی، استفاده می شود .
نوع خاص غیر نسبیتی شکل ساده شده نزدیک به واقعیت است که در شرایط بسیاری دقیق است و در موارد اندکی دقیق نیست . (مکانیک کوانتومی را ببینید.)
برای به دست آوردن معادله شرودینگر ،شرودینگر، عملگر هامیلتونی برای سیستم جهت محاسبه انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی ذرات تشکیل دهنده سیستم و جایگذاری در معادله شرودینگر تنظیم شده است . معادله دیفرانسیل جزئی بدست آمده برای تابع موج حل می شود که شامل اطلاعاتی درباره سیستم است .
'''معادله مستقل از زمان'''
معادله مستقل از زمان شرودینگر پیش بینی می کند که توابع موج می توانند امواج ایستاده تشکیل دهند که حالتهای ثابت نامیده می شوند . (همچنین به عنوان اربیتال در اربیتالهای اتمی یا مولکولی نامیده می شوند.) این حالت ها به نوبه ی خود مهم هستند . علاوه بر این اگر این حالت های پایا دسته بندی و تفهیم شوند ،شوند، حل معادله مستقل از زمان شرودینگر برای هر حالت آسان تر می شود . معادله مستقل از زمان شرودینگر حالت های پایا را توصیف می کند . (این معادله فقط زمانی استفاده می شود که خود هامیلتونی وابسته به زمان نیست.)
'''معادله مستقل از زمان شرودینگر(عمومی)'''
به روایت تقریر ، حالات معادله :
وقتی که عملگر هامیلتونی به روی تابع موج ''[[سای (حرف)]]'' عمل می کند ،کند، نتیجه ممکن است با همان تابع موج ''[[سای (حرف)]]'' متناسب باشد . اگر اینگونه باشد ،باشد، ''[[سای (حرف)]]'' یک حالت پایا است و ثابت تناسب ،تناسب، ''[[E]]'' انرژی آن حالت ''[[سای (حرف)]]'' است .
معادله مستقل از زمان شرودینگر به تفصیل در زیر بحث شده است . در واژگان جبر خطی این معادله ،معادله، یک معادله ویژه مقداری است .
همانند قبل ،قبل، مشهور ترین شکل معادله غیر نسبیتی شرودینگر برای یک ذره مفرد متحرک در میدان الکتریکی (نه مغناطیسی) است .
'''معادله مستقل از زمان شرودینگر (یک ذره غیر نسبیتی)'''
<math>E \Psi(\mathbf{r}) = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) \Psi(\mathbf{r})</math>
تعاریف همانند بالا هستند.
مفاهیم :
معادله شرودینگر و روش های آن شامل یک موفقیت در تفکر فیزیک شد . این معادله در نوع خود اولین بود و راه حل های آن منجر به خاصیت های غیر معمول و غیر منتظره ای برای زمان شد .
انرژی کل ،کل، جنبشی و پتانسیل
شکل کلی معادله ،معادله، غیر معمول و غیر منتظره نیست ،نیست، معادله شرودینگر می تواند به عنوان (انرژی پتانسیل + انرژی جنبشی = انرژی کل) تفسیر شود .
این رابطه دقیقاً مانند فیزیک کلاسیک است . به عنوان مثال یک ترن هوایی بدون اصطکاک انرژی کل ثابتی دارد ،دارد، بنابراین هنگامی که در ارتفاع بالا قرار دارد ( انرژی پتانسیل بالا) ، آهسته تر حرکت می کند (انرژی جنبشی کم) و بر عکس.
'''کوانتش'''
معادله شرودینگر پیشبینی می کند اگر خواص مشخصی از سیستم اندازه گیری شوند ،شوند، نتیجه ممکن است کوانتیده باشد به این معنی که تنها مقادیر گسسته خاصی می تواند امکان بیافتد . یک مثال از کوانتش انرژی است :
انرژی یک الکترون در یک اتم همواره یکی از تراز های انرژی کوانتیده است ،است، حقیقتی که توسط طیف اتمی کشف شد . (کوانتش انرژی در زیر بحث شده است) مثال دیگری از کوانتش تکانه زاویه ای است . این یک فرض در مدل اولیه اتم بور بود ولی در حقیقت پیشگویی معادله شرودینگر است .
همه ی اندازه گیری ها نتیجه کوانتیده در مکانیک کوانتومی ندارند . به عنوان مثال مکانمکان، ، تکانه ،تکانه، زمان و انرژی (گاهی اوقات) می توانند هر مقداری در یک بازه ی پیوسته داشته باشند .
'''اندازه گیری و عدم قطعیت'''
در مکانیک کلاسیک ،کلاسیک، هر ذره در هر لحظه ،لحظه، یک تکانه و مکان دقیق دارد . این مقادیر به طور دقیق هنگامی که ذره با توجه به قوانین نیوتن حرکت می کند ،کند، تغییر می کند . در کوانتوم مکانیک ،مکانیک، ذرات ویژگی های مشخصی به طور دقیق ندارند و زمانی که انداره گیری می شوند نتیجه از یک توزیع احتمال پیروی می کند . معادله شرودینگر توزیع احتمالاتی که هستند را پیشگوئی می کند ،کند، اما اساساً نمی تواند نتایج را به طور دقیق ،دقیق، برای هر اندازه گیری پیشگوئی کند.
اصل عدم قطعیت هایزنبرگ یک نمونه ی بارزی از عدم قطعیت در مکانیک کوانتوم است . این اصل بیان می کند که هر قدر که مکان ذره با دقت بیشتری مشخص باشد ،باشد، تکانه را با دقت کمتری خواهیم دانست و بر عکس .
معادله موج شرودینگر تکامل تابع موج یک ذره را توصیف می کند . حتی اگر تابع موج دقیقاً شناخته شده باشد ،باشد، نتیجه یک اندازه گیری خاص روی آن نادقیق خواهد بود .
'''تونل زنی کوانتومی'''
در فیزیک کلاسیک ،کلاسیک، هنگامی که یک توپ به آرامی به سمت یک تپه می غلتد ،غلتد، انتظار می رود که توقف کند و بازگردد ،بازگردد، زیرا انرژی کافی برای برای عبور به آن طرف ندارد . با این حال معادله شرودینگر پیشگوئی می کند که احتمال کمی برای اینکه توپ به آن سوی تپه برود وجود دارد حتی اگر انرژی کمی برای رسیدن به قله داشته باشد . که این تونل زنی کوانتومی نامیده می شود . تونل زنی کوانتومی به اصل عدم قطعیت ارتباط دارد : اگر چه توپ به نظر می رسد که در یک طرف تپه باشد ،باشد، مکان آن نامشخص است بنابراین شانس این که توپ در طرف دیگر باشد ،باشد، وجود دارد .
'''ذرات به عنوان موج'''
معادله دیفرانسیل غیر نسبیتی شرودینگر نوعی معادله دیفرانسل جزئی است که معادله موج نامیده می شود . بنابراین ذرات رفتاری که معمولاً به امواج نسبت داده می شوند ،شوند، از خود نشان می دهند .
یک مثال مشخص از رفتار غیر معمول ذرات که معمولاً امواج از خود نشان می دهند ،دهند، پراش دو شکاف است که به طور مستقیم همراه با ذرات نیست ،نیست، تداخل امواج از دو شکاف در بعضی از نقاط یکدیگر را خنثی و در برخی نقاط تقویت می کنند که باعث به وجود آمدن طرح پراش می شود . به طور مستقیم این انتظار را نداریم که این طرح از یک ذره پرتاب شده مشاهده شود ،شود، زیرا ذره باید از یکی از دو شکاف عبور کند نه از هر دو شکاف .
بنابراین چون معادله شرودینگر یک معادله موج است ،است، ذره پرتاب شده دقیقاً همین طرح را نشان می دهد. (آزمایش باید به دفعات زیادی انجام شود تا طرح پراش مشاهده شود)
ظاهر طرح اثبات می کند که الکترون از هر دو شکاف به طور همزمان عبور می کند . اگر چه عجیب به نظر می رسد ،رسد، اما این پیشگوئی صحیح است . به طور ویژه ،ویژه، پراش الکترون و نوترون به خوبی تفهیم شده و به صورت گسترده در علوم و مهندسی استفاده می شوند .
ذرات همچنین بر هم نهی و تداخل از خود نشان می دهند که با پراش ارتباط دارد .
خاصیت برهم نهی به ذرات اجازه می دهد که در یک برهم نهی کوانتومی در حالت های متفاوت چند گانه در یک زمان باشد ،باشد، به عنوان مثال یک ذره می تواند چندین انرژی مختلف در یک زمان معین داشته باشد و می تواند در چندین حالت مختلف در یک زمان باشد . در مثال بالا یک ذره می تواند از میان دو شکاف در یک زمان عبور کند .
'''تفسیر تابع موج'''
معادله شرودینگر راهی برای بدست آوردن تابع موج محتمل از یک سیستم و چگونگی تفسیر پویای آن با زمان فراهم می کند . اگر چه معادله شرودینگر مستقیماً نمی گوید که تابع موج دقیقاً چیست . تفسیر مکانیک کوانتومی سوالاتی مانند اینکه چه رابطه ای میان تابع موج هست که اساس واقعی دارد و حاصل اندازه گیری های تجربی است ،است، را مشخص می کند .
یک جنبه مهم رابطه ی میان معادله شرودینگر و فروریزش تابع موج است . در گذشته کپنهاگ می گفت : ذرات از معادله شرودینگر پیروی می کنند به جز در طول فروریزش تابع موج که در آن مقطع به طور کاملاً متفاوتی رفتار می کند . ظهور نظریه کوانتومی decoherance اجازه داد تا روش های جایگزین در جایی که معادله ی شرودینگر اغنا می شود ،شود، فروریزش تابع موج باید از نتیجه معادله شرودینگر توضیح داده شود .
'''معادله موج برای ذرات'''
معادله شرودینگر بر اساس فرضیه دوبروی توسعه یافت و معادله ی بیانگر ذرات که می توانست در این راه تولید شود بود برای استخراج بیشتر در حالت ریاضی معادله شرودینگر می توانید این را هم ببینید .
'''فرضیات'''
پایستگی انرژی : انرژی کل ذرات متشکل از جمع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است . این جمع معادل هامیلتونی در مکانیک کلاسیک است
<math>E = T + V =H \,\!</math>
<math> E = \frac{p^2}{2m}+V(x,t)=H.</math>
برای سه بعدی ها بردار مکان '''r''' و بردار تکانه ی '''P''' باید استفاده شود .
<math>E = \frac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}+V(\bold{r},t)=H</math>
این معادله می تواند برای هر تعداد ذره ثابت گسترش یابد :
انرژی کل ،کل، پس حاصل جمع انرژی های جنبشی کل ،کل، به علاوه انرژی پتانسیل است . که همام هامیلتونی می باشد . اگرچه هامیلتونی می تواند فعل و انفعالات میان ذرات (یک مسئله چند ذره ای) باشد . بنابراین انرژی پتانسیل V می تواند در پیکر بندی فضایی ذرات و احتمالاً تغییر زمان ،زمان، تغییر کند انرژی پتانسیل در کل از مجموع انرژی پتانسیل برای هر ذره تشکیل نشده است . این یک تابع برای موقعیت فضایی هر ذره است در واقع :
<math>E=\sum_{n=1}^N \frac{\bold{p}_n\cdot\bold{p}_n}{2m_n} + V(\bold{r}_1,\bold{r}_2\cdots\bold{r}_N,t) = H \,\!</math>
''''روابط دوبروی''''
فرضیه کوانتوم نور انیشتین (1905) بیانگر این است که انرژی ''E'' یک فوتون متناسب است با بسامد ''ν'' (یا بسامد زاویه ای ''ω'' = 2π''ν'') که به بسته های موج کوانتومی نور ،نور، مربوط می شود .
<math>E = h\nu = \hbar \omega \,\!</math>
همانند فرضیه دوبروی (1924) بیانگر این است که هر ذره می تواند با یک موج و تکانه P ذره از طریق رابطه زیر ارتباط داشته باشد با طول (''λ'') یک موج کذایی در یک بعد :
:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k\;,</math>
در سه بعد :
:<math>\mathbf{p} = \frac{h}{\lambda} = \hbar \mathbf{k}\;.</math>
که '''k''' بردار موج است (و طول موج با اندازه ی '''k''' ارتباط دارد .)
'''جواب برای معادله'''
معادله شرودینگر یک معادله موج ریاضی است که بر اساس حرکت های موج پاسخ داده شده است . در حالت عادی معادله موج در فیزیک می تواند از قوانین دیگر فیزیکی ،فیزیکی، مشتق گیری شود.
معادله موج می تواند مشتقی از قوانین دیگر فیزیک باشد و برای ارتعاشات مکانیکی بروی طناب در ماده از قانون نیوتون مشتق شود . تابع موج آنالوگ نشان دهنده ی جابه جایی ماده است و امواج الکترومغناطیسی از معادلات ماکسول بدست می آید که در آن تابع موج در زمینه های الکتریکی و مغناطیسی می باشد ،باشد، در مقابل آن ،آن، معادلات شرودینگر بر اساس انرژی مواد و قیاس منطقی جداگانه در مکانیک کوانتومی است .
دوگانگی ذره-موج از معادلات شرودینگر پیروی می کند که در زیر بیان شده است :
رابطه پلانک – انیشتین و دوبروی :
:<math>E=\hbar\omega, \quad \bold{p}=\hbar\bold{k} </math>
رابطه ای میان فضا با تکانه ،تکانه، انرژی با زمان را مشخص می کند . که اگر در معادلات بالا ħ'' = 1'' معادلات زیر بدست می آید :
:<math>E=\omega, \quad \bold{p}=\bold{k} </math>
انرژی و بسامد زاویه ای هر دو یک بعد دارند که با زمان رابطه مستقیمی دارند ،دارند، تکانه و ععد موج هر دو با طول موج رابطه عکسی دارند .
در اواخر 1925 نظریه ی شرودینگر بیانگر این بود که فاز امواج تخت ،تخت، مانند فاکتور فازی پیچیده در این روابط استفاده می شود .
:<math>\Psi = Ae^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)} = Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} </math>
و برای دانستن مشتقات جزئی مرتبه اول نسبت به مکان :
:<math> \nabla\Psi = \dfrac{i}{\hbar}\bold{p}Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} = \dfrac{i}{\hbar}\bold{p}\Psi </math>
و زمان :
:<math> \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi </math>
حاکی از مشتقات
با ضرب ''Ψ'' در معادله انرژی
:<math>E= \dfrac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}+V \rightarrow E\Psi= \dfrac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}\Psi+V\Psi</math>
بلافاصله معادله شرودینگر به دست می آید :
:<math>i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}= -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi +V\Psi</math>
قیاس منطقی دیگر در مکانیک کوانتومی این است که همه مشاهده گر ها توسط عملگر هایی که روی تابع موج عمل می کنند ،کنند، نشان داده می شوند . ویژه مقادیر عملگر ها مقادیری هستند که مشاهده گر ها به خود می گیرند . مشتقات قبلی بر اساس مشتقات زمان به عملگر های انرژی ختم می شوند .
:<math>\hat{E}= i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} </math>
و عملگر تکانه بر اساس مشتقات فضایی :<math>\bold{\hat{p}}= -i\hbar\nabla</math> می باشد .
این ها عملگر های دیفرانسیلی هستند ، که به جز انرژی پتانسیل '''V''' که فقط یک فاکتور ضربی است . جایگذاری این عملگر ها در معادله انرژی توسط ''Ψ'' به همان معادله موج بر می گردد. و نکته جالب این است که انرژی و تکانه یک تقارن با زمان دارد و اینها دلایلی هستند که در آن انرژی و تکانه پایسته می مانند .
انرژی جنبشی ''T'' با مربع تکانه '''p'''رابطه دارد . وقتی تکانه ذره ، افزایش می یابد انرژی جنبشی به سرعت افرایش پیدا می کند . اما وقتی عدد موج '''k''' افزایش پیدا می کند طول موج <math>\scriptstyle \lambda</math> کاهش می یابد .
:<math> \bold{p}\cdot\bold{p} \propto \bold{k}\cdot\bold{k} \propto T \propto |\nabla^2\Psi| \propto \dfrac{1}{\lambda^2}</math>
'''جواب برای معادله'''
جواب عمومی معادله می تواند به راحتی در قسمت پایین دیده شود .امواج تخت قطعاً یک جواب است چون برای بدست آوردن تابع استفاده شده است . همچنین هر ترکیب خطی از امواج ساده یک جواب است . برای هر '''k''' های گسسته ،گسسته، هر ترکیب خطی ، یک بر هم نهی امواج تخت است .
:<math> \Psi(\bold{r},t) = \sum_{n=1}^\infty A_n e^{i(\bold{k}_n\cdot\bold{r}-\omega_n t)} \,\!</math>
و برای '''k''' های پیوسته هر ترکیب خطی ،خطی، یک انتگرال است که بسط فوریه ی تکانه ی فضایی تابع موج است .
:<math> \Psi(\bold{r},t) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3}\int\Phi(\bold{k})e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)}d^3\bold{k} \,\!</math>
که ''d''<sup>3</sup>'''k''' = ''dk<sub>x</sub>dk<sub>y</sub>dk<sub>z</sub>'' می باشد . که انتگرال به روی فضای '''k''' گرفته می شود و تابع موج در فضای تکانه Φ('''kΦ(''')k از زیر انتگرال به دست می آید . از آنجایی که اینها معادله شرودینگر را اغنا می کند ،کند، جواب معادله شرودینگر برای شرایط داده شده فقط برای بدست آوردن امواج تخت ،تخت، استفاده نمی شود ،شود، بلکه هر تابع موجی که معادله شرودینگر ،شرودینگر، به دست آمده از سیستم ،سیستم، علاوه بر شرایط مرزی مربوط ،مربوط، را اغنا کند ،کند، استفاده می شود . می توان نتیجه گرفت معادله شرودینگر برای شرایطی (غیر نسبیتی) درست است.
'''موج و حرکت ذره'''
شرودینگر فرض کرد که جواب بسته موج (نه فقط برای امواج تخت) در مکان '''r''' و عدد موج '''k''' در طول یک مسیر مشخص شده ،شده، توسط مکانیک کلاسیک، در حدی که طول موج کوتاه است <math> \scriptstyle \lambda \,\!</math> حرکت خواهد کرد . برای مثال ،مثال، برای یک '''k''' بزرگ و در نتیجه '''P''' بزرگ در مقایسه با ثابت کاهیده پلانک ''ħ'' . به عبارت دیگر در حدی که ''ħ'' به صفر میل میل می کند ،کند، معادلات مکانیک کلاسیک از معادلات مکانیک کوانتومی ،کوانتومی، به دست می آیند . حاصل استفاده از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ برای مکان و تکانه صفر می شود و این مانند این است که ثابت کاهیده پلانک به صفر میل کند ħ'' → 0'' .
:<math> \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant \frac{\hbar}{2} \quad \rightarrow \quad \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant 0 \,\!</math>
که ''σ'' بیانگر عدم قطعیت اندازه گیری در ''x'' و ''p<sub>x</sub>'' (و شبیه به آن در مسیر های ''y'' و ''z'' ) است . که بیان می کند که مکان و تکانه در این حد ،حد، می توانند با دقت دلخواه مشخص شوند .
که این فرم عمومی معادله شرودینگر است .
:<math> i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) = \hat{H} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) \,\!</math>
که با معادله ژاکوبی هامیلتونی رابطه ی نزدیکی دارد .
:<math> \frac{\partial}{\partial t} S(q_i,t) = H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t \right) \,\!</math>
جایی که ''S'' کنش است و''H'' تابع هامیلتونی است (نه عملگر) . تعمیم مختصات ،مختصات، ''q<sub>i</sub>'' برای i'' = 1,2,3'' می تواند موقعیت در مختصات دکارتی را ،را، هماهنگ کند .
با جایگذاری :<math> \Psi = \sqrt{\rho(\mathbf{r},t)} e^{iS(\mathbf{r},t)/\hbar}\,\!</math>
که ρ چگالی احتمال است سپس اگر از معادله بدست آمده حد ħ'' → 0'' گرفته شود معادله هامیلتونی-ژاکوبی بدست خواهد آمد .
* حرکت یک ذره توسط(طول موج کوتاه) جواب بسته موج ،موج، برای معادله موج شرودینگر توضیح داده شده است که همچنین توسط معادله ژاکوبی-هامیلتونی نیز بیان شده است .
* معادله شرودینگر شامل تابع موج است ،است، بنابراین جواب بسته موج موقعیت ذره (کوانتومی) که به صورت نا منظم در جبهه موج قرار دارد ،دارد، را بیان می کند . در مقابل ،مقابل، معادله ژاکوبی-هامیلتونی بیان می کند که یک ذره(کلاسیکی) مکان و تکانه به طور همزمان می توانند مشخص باشند .
'''مستقل از زمان'''
اگر هامیلتونی تابعی صریح از زمان نباشد معادله به بخش های زمانی و مکانی قابل تفکیک است . عملگر انرژی <math> \hat{E} = i \hbar \partial / \partial t \,\!</math> می تواند توسط مقادیر ویژه انرژی جایگزین شود . که فرم خلاصه شده معادله ویژه مقداری برای هامیلتونی است <math> \hat{H}</math> .
:<math>\hat H \psi = E \psi </math>
یک جواب معادله مستقل از زمان ،زمان، یک ویژه حالت انرژی ''E'' نامیده می شود . برای پیدا کردن حالت وابستگی زمانی از معادله وابسته به زمان با شرایط اولیه ی (''ψ''ψ('''r''') شروع می کنیم . مشتق زمانی در t'' = 0'' متناسب است با
:<math> \left.i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\bold{r},t)\right|_{t=0}= \left.H \Psi(\bold{r},t)\right|_{t=0} =E \Psi(\bold{r},0) \,</math>
بنابراین معادله را به دو بخش زمانی و مکانی تفکیک کرده و معادله کلی حاصلضرب این دو است پس برای هر زمان ''t'' :
:<math> \Psi(\bold{r},t)= \tau(t) \psi(\bold{r}) \,</math>
اکنون ''Ψ'' را جایگذاری می کنیم :
:<math> i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t } = E \Psi \rightarrow i\hbar \psi(\bold{r})\frac{\partial\tau(t)}{\partial t } = E \tau(t)\psi(\bold{r}) \,</math>
که در این حالت (''ψ''ψ('''r''') حذف شده معادله برای <math> \scriptstyle \tau(t)\,\!</math> حل می شود که یک جواب معادله ی وابسته به زمان را با شرایط اولیه بیان می کند .
:<math> \Psi(\bold{r},t) = \psi(\bold{r}) e^{-i{E t/\hbar}} = \psi(\bold{r}) e^{-i{\omega t}} \,</math>
این موضوع جواب معادله وابسته به زمان امواج ایستاده را بیان می کند که حالتی با انرژی مشخص است .(که به جای توزیع احتمالاتی برای انرژِی های متفاوت.) در فیزیک این امواج ایستاده حالت پایا یا ویژه حالت انرژی نامیده می شود .
ویژه مقادیر انرژی از این معادله یک طیف مجزا دارد . بنابراین انرژی باید کوانتیده باشد . به طور خاص ویژه حالت انرژی یک پایه - هر تابع موج ممکن است به صورت جمع حالت های انرژی مجزا یا انتگرال حالت های انرژی پیوسته نوشته شود این نظریه طیف در ریاضیات نامیده می شود .
| 