معادله شرودینگر: تفاوت میان نسخه‌ها

4- زمینه تاریخی و پیشرفت

5- معادله موج برای ذرات

5.2- روشی برای معادله

5.4- حرکت ذره و موج

 

 

 

شکل معادله شرودینگر به شرایط فیزیکی بستگی دارد (پایین را برای موارد خاص مشاهده کنید). عمومی ترین شکل آن معادله شرودینگر وابسته به زمان است که شرحی از سیستم در حال تکامل با زمان، می دهد:

برای به دست آوردن معادله شرودینگر، عملگر هامیلتونی برای سیستم جهت محاسبه انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی ذرات تشکیل دهنده سیستم و جایگذاری در معادله شرودینگر تنظیم شده است. معادله دیفرانسیل جزئی بدست آمده برای تابع موج حل می شود که شامل اطلاعاتی درباره سیستم است.

 

 

معادله مستقل از زمان شرودینگر پیش بینی می کند که توابع موج می توانند امواج ایستاده تشکیل دهند که حالتهای ثابت نامیده می شوند. (همچنین به عنوان اربیتال در اربیتالهای اتمی یا مولکولی نامیده می شوند.) این حالت ها به نوبه ی خود مهم هستند. علاوه بر این اگر این حالت های پایا دسته بندی و تفهیم شوند، حل معادله مستقل از زمان شرودینگر برای هر حالت آسان تر می شود. معادله مستقل از زمان شرودینگر حالت های پایا را توصیف می کند. (این معادله فقط زمانی استفاده می شود که خود هامیلتونی وابسته به زمان نیست.)

<math>E \Psi(\mathbf{r}) = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) \Psi(\mathbf{r})</math>

تعاریف همانند بالا هستند.

معادله شرودینگر و روش های آن شامل یک موفقیت در تفکر فیزیک شد. این معادله در نوع خود اولین بود و راه حل های آن منجر به خاصیت های غیر معمول و غیر منتظره ای برای زمان شد.

شکل کلی معادله، غیر معمول و غیر منتظره نیست، معادله شرودینگر می تواند به عنوان (انرژی پتانسیل + انرژی جنبشی = انرژی کل) تفسیر شود.

این رابطه دقیقاً مانند فیزیک کلاسیک است. به عنوان مثال یک ترن هوایی بدون اصطکاک انرژی کل ثابتی دارد، بنابراین هنگامی که در ارتفاع بالا قرار دارد ( انرژی پتانسیل بالا)، آهسته تر حرکت می کند (انرژی جنبشی کم) و بر عکس.

 

 

معادله شرودینگر پیشبینی می کند اگر خواص مشخصی از سیستم اندازه گیری شوند، نتیجه ممکن است کوانتیده باشد به این معنی که تنها مقادیر گسسته خاصی می تواند امکان بیافتد. یک مثال از کوانتش انرژی است:

همه ی اندازه گیری ها نتیجه کوانتیده در مکانیک کوانتومی ندارند. به عنوان مثال مکان، تکانه، زمان و انرژی (گاهی اوقات) می توانند هر مقداری در یک بازه ی پیوسته داشته باشند.

 

 

در مکانیک کلاسیک، هر ذره در هر لحظه، یک تکانه و مکان دقیق دارد. این مقادیر به طور دقیق هنگامی که ذره با توجه به قوانین نیوتن حرکت می کند، تغییر می کند. در کوانتوم مکانیک، ذرات ویژگی های مشخصی به طور دقیق ندارند و زمانی که انداره گیری می شوند نتیجه از یک توزیع احتمال پیروی می کند. معادله شرودینگر توزیع احتمالاتی که هستند را پیشگوئی می کند، اما اساساً نمی تواند نتایج را به طور دقیق، برای هر اندازه گیری پیشگوئی کند.

معادله موج شرودینگر تکامل تابع موج یک ذره را توصیف می کند. حتی اگر تابع موج دقیقاً شناخته شده باشد، نتیجه یک اندازه گیری خاص روی آن نادقیق خواهد بود.

 

 

در فیزیک کلاسیک، هنگامی که یک توپ به آرامی به سمت یک تپه می غلتد، انتظار می رود که توقف کند و بازگردد، زیرا انرژی کافی برای برای عبور به آن طرف ندارد. با این حال معادله شرودینگر پیشگوئی می کند که احتمال کمی برای اینکه توپ به آن سوی تپه برود وجود دارد حتی اگر انرژی کمی برای رسیدن به قله داشته باشد. که این تونل زنی کوانتومی نامیده می شود. تونل زنی کوانتومی به اصل عدم قطعیت ارتباط دارد: اگر چه توپ به نظر می رسد که در یک طرف تپه باشد، مکان آن نامشخص است بنابراین شانس این که توپ در طرف دیگر باشد، وجود دارد.

 

 

معادله دیفرانسیل غیر نسبیتی شرودینگر نوعی معادله دیفرانسل جزئی است که معادله موج نامیده می شود. بنابراین ذرات رفتاری که معمولاً به امواج نسبت داده می شوند، از خود نشان می دهند.

خاصیت برهم نهی به ذرات اجازه می دهد که در یک برهم نهی کوانتومی در حالت های متفاوت چند گانه در یک زمان باشد، به عنوان مثال یک ذره می تواند چندین انرژی مختلف در یک زمان معین داشته باشد و می تواند در چندین حالت مختلف در یک زمان باشد. در مثال بالا یک ذره می تواند از میان دو شکاف در یک زمان عبور کند .

 

 

معادله شرودینگر راهی برای بدست آوردن تابع موج محتمل از یک سیستم و چگونگی تفسیر پویای آن با زمان فراهم می کند. اگر چه معادله شرودینگر مستقیماً نمی گوید که تابع موج دقیقاً چیست . تفسیر مکانیک کوانتومی سوالاتی مانند اینکه چه رابطه ای میان تابع موج هست که اساس واقعی دارد و حاصل اندازه گیری های تجربی است، را مشخص می کند.

یک جنبه مهم رابطه ی میان معادله شرودینگر و فروریزش تابع موج است. در گذشته کپنهاگ می گفت : ذرات از معادله شرودینگر پیروی می کنند به جز در طول فروریزش تابع موج که در آن مقطع به طور کاملاً متفاوتی رفتار می کند. ظهور نظریه کوانتومی decoherance اجازه داد تا روش های جایگزین در جایی که معادله ی شرودینگر اغنا می شود، فروریزش تابع موج باید از نتیجه معادله شرودینگر توضیح داده شود.

 

 

معادله شرودینگر بر اساس فرضیه دوبروی توسعه یافت و معادله ی بیانگر ذرات که می توانست در این راه تولید شود بود برای استخراج بیشتر در حالت ریاضی معادله شرودینگر می توانید این را هم ببینید.

 

 

پایستگی انرژی: انرژی کل ذرات متشکل از جمع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. این جمع معادل هامیلتونی در مکانیک کلاسیک است

که '''k''' بردار موج است (و طول موج با اندازه ی '''k''' ارتباط دارد.)

 

 

معادله شرودینگر یک معادله موج ریاضی است که بر اساس حرکت های موج پاسخ داده شده است. در حالت عادی معادله موج در فیزیک می تواند از قوانین دیگر فیزیکی، مشتق گیری شود.

:<math> \bold{p}\cdot\bold{p} \propto \bold{k}\cdot\bold{k} \propto T \propto |\nabla^2\Psi| \propto \dfrac{1}{\lambda^2}</math>

 

 

جواب عمومی معادله می تواند به راحتی در قسمت پایین دیده شود.امواج تخت قطعاً یک جواب است چون برای بدست آوردن تابع استفاده شده است. همچنین هر ترکیب خطی از امواج ساده یک جواب است. برای هر '''k''' های گسسته، هر ترکیب خطی ، یک بر هم نهی امواج تخت است.

 

که ''d''³'''k''' = ''dk_xdk_ydk_z'' می باشد. که انتگرال به روی فضای '''k''' گرفته می شود و تابع موج در فضای تکانه ('''Φ('''k از زیر انتگرال به دست می آید. از آنجایی که اینها معادله شرودینگر را اغنا می کند، جواب معادله شرودینگر برای شرایط داده شده فقط برای بدست آوردن امواج تخت، استفاده نمی شود، بلکه هر تابع موجی که معادله شرودینگر، به دست آمده از سیستم، علاوه بر شرایط مرزی مربوط، را اغنا کند، استفاده می شود. می توان نتیجه گرفت معادله شرودینگر برای شرایطی (غیر نسبیتی) درست است.

شرودینگر فرض کرد که جواب بسته موج (نه فقط برای امواج تخت) در مکان '''r''' و عدد موج '''k''' در طول یک مسیر مشخص شده، توسط مکانیک کلاسیک، در حدی که طول موج کوتاه است <math> \scriptstyle \lambda \,\!</math> حرکت خواهد کرد. برای مثال، برای یک '''k''' بزرگ و در نتیجه '''P''' بزرگ در مقایسه با ثابت کاهیده پلانک ''ħ''. به عبارت دیگر در حدی که ''ħ'' به صفر میل میل می کند، معادلات مکانیک کلاسیک از معادلات مکانیک کوانتومی، به دست می آیند. حاصل استفاده از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ برای مکان و تکانه صفر می شود و این مانند این است که ثابت کاهیده پلانک به صفر میل کند ħ'' → 0'' .