معادله شرودینگر: تفاوت میان نسخه‌ها

در حقیقت برای ذرات در یک بعد با موقعیت مکان ''x'' جرم ''m'' و تکانه ''P'' و انرژی پتانسیل ''V'' عموماً با موقعیت زمان ''t'' تغییر می کند

 

 

برای سه بعدی ها بردار مکان '''r''' و بردار تکانه ی '''P''' باید استفاده شود.

همانند فرضیه دوبروی (1924) بیانگر این است که هر ذره می تواند با یک موج و تکانه P ذره از طریق رابطه زیر ارتباط داشته باشد با طول (''λ'') یک موج کذایی در یک بعد:

 

 

در سه بعد:

 

که '''k''' بردار موج است (و طول موج با اندازه ی '''k''' ارتباط دارد.)

 

.<math>\Psi = Ae^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)} = Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} </math>

و برای دانستن مشتقات جزئی مرتبه اول نسبت به مکان:

.<math> \nabla\Psi = \dfrac{i}{\hbar}\bold{p}Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} = \dfrac{i}{\hbar}\bold{p}\Psi </math>

و زمان:

.<math> \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} Ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-Et)/\hbar} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi </math>

حاکی از مشتقات

:<math> \begin{matrix} -i\hbar\nabla\Psi = \bold{p}\Psi & \rightarrow & -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi = \dfrac{1}{2m}\bold{p}\cdot\bold{p}\Psi \\

\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi & \rightarrow & i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = E \Psi \\

\end{matrix} </math>

با ضرب ''Ψ'' در معادله انرژی

,<math>E= \dfrac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}+V \rightarrow E\Psi= \dfrac{\bold{p}\cdot\bold{p}}{2m}\Psi+V\Psi</math>

بلافاصله معادله شرودینگر به دست می آید:

.<math>i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}= -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi +V\Psi</math>

 

,<math> \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant \frac{\hbar}{2} \quad \rightarrow \quad \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant 0 \,\!</math>

که ''σ'' بیانگر عدم قطعیت اندازه گیری در ''x'' و ''p_x'' (و شبیه به آن در مسیر های ''y'' و ''z'' ) است. که بیان می کند که مکان و تکانه در این حد، می توانند با دقت دلخواه مشخص شوند.