آمار فرمی-دیراک: تفاوت میان نسخه‌ها

جز
ربات:افزودن الگو ناوباکس {{توزیع‌های احتمالات}}+تمیز(۲.۷)
جز (ربات: مرتب‌سازی رده‌ها؛ زیباسازی)
جز (ربات:افزودن الگو ناوباکس {{توزیع‌های احتمالات}}+تمیز(۲.۷))
 
آمار فرمی-دیراک در سامانه‌ای با تعادل دمایی، بر ذرات مساوی که گردش ([[اسپین]]) [[نیمه‌صحیح]] دارند اعمال می‌شود. همچنین فرض می‌شود که اندرکنش متقابل ذرات در این سامانه ناچیز است. این باعث می‌شود که بتوان این تعداد زیاد از ذرات را در وضعیت [[حالت پایه|حالت پایهٔ]] یک تک‌ذره توصیف کرد. نتیجهٔ توزیع فرمی-دیراک بر روی این ذرات یعنی هیچ دو ذره‌ای نمی‌توانند حالت مشابه هم داشته باشند؛ که این نتیجه‌گیری تاثیر بزرگی بر روی ویژگی‌های سامانه دارد. از آنجایی که آمار فرمی-دیراک بر روی ذراتِ با گردش (اسپین) نیمه‌صحیح اعمال می‌شود، باید این ذرات را [[فرمیون]] خواند. این آمار بیشتر به الکترون‌هایی که خود فرمیون با گردش ۱/۲ اند اعمال می‌شود. آمار فرمی-دیراک خود زیرمجموعه‌ای از [[مکانیک آماری]] است و از اصول [[مکانیک کوانتوم]] پیروی می‌کند.
== پیشینه ==
قبل از معرفی آمار فرمی-دیراک در سال ۱۹۲۶ فهم برخی از جنبه‌های رفتار الکترون به دلیل حضور پدیده‌های به ظاهر متناقض بسیار مشکل بود.
 
== توزیع فرمی-دیراک ==
در سامانه‌ای با فرمیون‌های مساوی، اگر تعداد متوسط فرمیون‌های با حالت تک‌ذره <math>i</math> در توزیع فرمی-دیراک به شکل زیر بیان می شود:
{{چپچینچپ‌چین}}
::<math> \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} </math>
{{پایان چپچینچپ‌چین}}
که ''k'' [[ثابت بولتزمن]] است و ''T'' [[دما]]ی مطلق و <math>\epsilon_i \ </math> انرژی یک ذره منفرد در حالت ''i'' و <math>\mu\ </math> [[پتانسیل شیمیایی]] است. در ''0=T''، پتانسیل شیمیایی برابر با [[انرژی فرمی]] است. درحالتی که الکترون ها در یک نیمه هادی قرار دارند <math>\mu\ </math> را [[تراز فرمی]] می نامیم.
 
توزیع فرمی-دیراک زمانی جواب درست می دهد که تعداد فرمیون ها آنقدر زیاد باشد که تغییر <math>\mu\ </math> ناشی از اضافه کردن یک فرمیون قابل صرف نظر کردن باشد. از آنجایی که توزیع فرمی-دیراک از اصل طرد پاولی مشتق شده درنتیجه داریم: <math>0 < \bar{n}_i < 1</math><ref>Note that <math> \bar{n}_i </math> is also the probability that the state <math>i</math> is occupied, since no more than one fermion can occupy the same state at the same time and <math>0 < \bar{n}_i < 1</math>.</ref>
<center> <gallery Caption="توزیع فرمی-دیراک" widths="400px" heights="200px" >
Image:FD e mu.jpg|'''وابستگی به انرژی.''' هرچه ''T'' بالاتر باشد، شیب نمودار ملایم تر است. برای {{nowrap|1=<math> \bar{n}</math> = 0.5}} وقتی {{nowrap|1=<math> \epsilon \;</math> = <math>\mu \; </math>.}} نشان داده نشده است زیرا <math>\mu \ </math> برای ''T'' بالاتر افزایش می‌یابد.<ref name='Kittel1971dist245'>{{harv|Kittel|1971|p=245, Figs. 4 and 5}} </ref> <br /> {{سخ}}<center>
Image:FD kT e.jpg|<center>'''وابستگی به دما''' برای <math> \epsilon > \mu \ </math> . </center>
</gallery><small>(برای بزرگ کردن عکس با نشانگر خود آن را انتخاب کنید.)</small></center>
=== توزیع ذرات در انرژی ===
توزیع فرمی-دیراک که در بالا ارائه شد، توزیع ذرات مشابه فرمیون را در انرژی تک ذره بیان می دارد حالتی که گویی تنها یک فرمیون می تواند آن حالت انرژی را داشته باشد. درنتیجه با استفاده از توزیع فرمی-دیراک می توان توزیع انرژی فرمیونهای مشابه را چنان نشان داد که گویی بیش از یک فرمیون می تواند همان انرژی را داشته باشد.
 
 
تعداد متوسط فرمیونها با انرژی <math>\epsilon_i \ </math> را می توان با ضرب <math> \bar{n}_i \ </math> توزیع فرمی-دیراک در <math> g_i \ </math> (تعداد حالات با انرژی <math>\epsilon_i \ </math>) بدست آورد:
& = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} \\
\end{alignat} </math>
{{سخ}}
<br />
{{پایان چپ‌چین}}
وقتی که <math> g_i \ge 2 \ </math> باشد، امکان دارد که <math>\ \bar{n}(\epsilon_i) > 1 </math> زیرا بیش از یک حالت وجود دارد که می تواند توسط فرمیون های با انرژی <math>\epsilon_i \ </math> اشغال شود.
 
وقتی یک شبه زنجیره انرژی <math> \epsilon \ </math> [[چگالی حالت]] <math> g( \epsilon ) \ </math> دارد(به معنی تعداد حالات در یکای محدوده انرژی در یکای حجم). تعداد فرمیونهای متوسط در یکای محدوده انرژی در یکای حجم برابر است با:
{{چپ‌چین}}
:<math> \bar { \mathcal{N} }(\epsilon) = g(\epsilon) \ F(\epsilon) </math>
{{سخ}}
<br />
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>F(\epsilon) \ </math> تابع فرمی نام دارد و همان تابعی است که در توزیع فرمی-دیراک <math> \bar{n}_i </math> مورد استفاده قرار می گیرد.
:<math> \bar { \mathcal{N} }(\epsilon) = \frac{g(\epsilon)}{e^{(\epsilon-\mu) / k T} + 1} </math> .
{{پایان چپ‌چین}}
=== کوانتوم و نظام کلاسیک ===
آمار ماکسول-بولتزمان به عنوان تقریبی از آمار فرمی-دیراک برای مطالعه سیستم‌های فیزیکی که به اندازه کافی از حد تعیین شده توسط اصل عدم قطعیت هایزنبرگ فاصله دارند بدست می‌آید. شرایط کلاسیک که در آن آمار ماکسول-بولتزمان معتبر است، زمانی محقق می‌شود که فاصله متوسط میان دو ذره <math> \bar{R} </math>، خیلی بزرگتر از [[طول موج دو بروی]] <math> \bar{\lambda} </math> باشد.
{{چپ‌چین}}
 
نمونه دیکر از سامانه‌ای که در نظام کلاسیک قرار ندارد، سامانه‌ای است که از الکترون‌های یک ستاره که متلاشی شده و به یک کوتوله سفید تبدیل شده‌است نام برد. هرچند که دما در کوتوله سفید بسیار بالا است (حدود 10،000 کلوین در سطح آن) باز به دلیل تمرکز الکترون هادی در آن و جرم بسیار کوچک الکترون در نظام کلاسیک جای نمی‌گیرد و آمار فرمی-دیراک مورد نیاز است.
== دو رویکرد برای بدست آوردن آمار فرمی-دیراک ==
=== بدست آوردن آمار فرمی-دیراک بر مبنای توزیع کانونی ===
 
== یادداشت ==
{{پانویس}}
 
==منبع منابع ==
{{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Dirac_statistics
|بازیابی = ۸ آوریل ۲۰۱۱
}}
== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy Fermi energy]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Parastatistics Parastatistics]
{{پایان چپ‌چین}}
{{توزیع‌های احتمالات}}
 
[[رده:آمار ذرات]]
[[رده:مفاهیم بنیادین فیزیک]]
۴٬۴۱۱٬۲۶۸

ویرایش