مشتق کل: تفاوت میان نسخه‌ها

:<math>\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.</math>

که به‌صورت زیر ساده می‌شود:

:<math>\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.</math>

با ضرب‌کردن رابطهٔ بالا در دیفرانسیل <math>\operatorname dt</math>:

:<math>{\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy.</math>

نتیجه، تغییر جزئی <math>\operatorname df</math> در مقدار تابع <math>f</math> خواهد بود. با توجه به اینکه تابع <math>f</math> به متغیر <math>t</math> وابسته است، بخشی از این تغییر ناشی از [[مشتق پاره‌ای]] <math>f</math> نسبت به <math>t</math> خواهد بود. با این حال، بخشی از این تغییر هم ناشی از مشتق‌های پاره‌ای تابع <math>f</math> نسبت به متغیرهای <math>x</math> و <math>y</math> خواهد بود.</li></ul>

 

<ul><li>مشتق کل می‌تواند به یک [[عملگر دیفرانسیلی]] مانند عملگر زیر اشاره کند:

:<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j},</math>

که مشتق کل یک تابع را (در این مثال نسبت به <math>x</math>) محاسبه می‌کند.</li></ul>

 

 

<ul><li>یک دیفرانسیل به فرم

:<math>\sum_{j=1}^k f_j(x_1,\dots, x_k) \operatorname d{x_j}</math>

مشتق کل یا ''مشتق دقیق'' نامیده می‌شود اگر دیفرانسیل یک تابع باشد. این هم می‌تواند به صورت مقادیر جزئی و یا با استفاده از فرم‌های دیفرانسیلی و [[مشتق خارجی]] تعبیر شود.</li></ul>