توزیع دوجمله‌ای

توزیع دوجمله‌ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است. در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله‌ای توزیعی گسسته‌ است از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p(توزیع برنولی). در واقع متغیر تصادفی X (تعداد موفقیت‌ها) را متغیر دوجمله‌ای با پارامترهای n و p می‌گویند.

دوجمله‌ای

تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی رنگها بر شکل قبلی منطبق است
پارامترها	$n\geq 0$ تعداد تکرارها (طبیعی) $0\leq p\leq 1$ شانس موفقیت (حقیقی)
تکیه‌گاه	$k\in \{0,\dots ,n\}\!$
تابع چگالی احتمال	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
تابع توزیع تجمعی	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!$
میانگین	$np\!$
میانه	یکی از $\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
مُد	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor \!$
واریانس	$np(1-p)\!$
چولگی	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!$
کشیدگی	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!$
آنتروپی	${\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
تابع مولد گشتاور	$(1-p+pe^{t})^{n}\!$
تابع مشخصه	$(1-p+pe^{it})^{n}\!$

یک آزمایش دوجمله‌ای بایستی دارای ویژگی‌های زیر باشد:

• آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
• نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق.
• احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با
  q=1-p
• آزمون‌ها مستقل باشند.

توزیع دوجمله‌ای برای p=۰٫۵ , مثلث پاسکال

مشخصه‌ها

تابع جرم احتمال

درحالت کلی اگر X یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای p,n باشد، آن را به‌صورت (X ~ B(n, p نمایش می‌دهیم. احتمال بدست‌آوردن k موفقیت با تابع جرم احتمال زیر مشخص می‌شود:

$p(k)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\quad \quad \quad \quad for\quad k=0,1,2,...,n\,$

حال می‌خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست‌آمده‌است: توجه کنید که تعداد راه‌های ممکن در انجام n آزمایش برنولی که می‌تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله‌های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a (موفقیت) و n-k حرف b (شکست). اما تعداد این دنباله‌ها برابر است با ${n \choose k}$ ، زیرا تعداد جایگشت‌های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n-k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با ${\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$. باتوجه به استقلال امتحان‌ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر $p^{k}(1-p)^{n-k}$ است داریم:

$\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$

دلیل اینکه به این توزیع دوجمله‌ای می‌گویند این است که قضیهٔ بسط دوجمله‌ای تضمین می‌کند که $p(k)$ یک تابع جرم احتمال است:

$\sum _{k=0}^{n}p(k)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(1-p)^{n-k}p^{k}=[p+(1-p)]^{n}=1^{n}=1\,$

تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی دوجمله‌ای به‌شکل زیر است:

$F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}\,$

مثال

اگر یک تیرانداز با احتمال ۰/۷ تیری را به هدف بزند و x تعداد تیرهای به هدف خورده در ۵ شلیک باشد؛
ابتدا توزیع احتمال x را معلوم کنید و هر یک از احتمال‌های زیر را به دست آورید.
الف- دقیقاً ۳ تیر به هدف بزند.
ب- حداکثر ۲ تیر به هدف بزند.
ج- هیچ تیری به هدف نزند.
متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n=۵ , p=۰٫۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می‌نویسیم:

$p(k)={n \choose k}(0.7)^{k}(0.3)^{5-k}$

برای به دست آوردن احتمالات در این مثال داریم:

$P(X=3)={5 \choose 3}(0.7)^{3}(0.3)^{2}=0.3087$

$P(X\leq 2)=p(0)+p(1)+p(2)=0.16308\,$

$P(X=0)=p(0)=0.00243\,$

میانگین و واریانس متغیرهای تصادفی دوجمله‌ای

فرض کنید $X$ یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای $n$ و $p$ باشد. به‌طور شهودی انتظار داریم که میانگین $X$ برابر $np$ باشد. مثلاً اگر سکهٔ سالمی را صد بار پرتاب کنیم، انتظار داریم به‌طور متوسط ۵۰ بار شیر مشاهده کنیم که برابر است با: $np=100*(1/2)$. فرمول: $\operatorname {E} [X]=np$ را می‌توان مستقیماً از تعریف امید ریاضی بدست‌آورد. در زیر این فرمول‌های امید ریاضی و واریانس این متغیر را آورده‌ایم:

$\operatorname {E} [X]=np$

$\operatorname {Var} [X]=np(1-p).$

مثال

تاسی را ۳ بار پرتاب می‌کنیم. اگر متغیر تصادفی $X$ تعداد تاسهایی که شش آمده باشد، تابع احتمال $X$ را بنویسید و امید ریاضی و واریانس آن را محاسبه کنید.
چون پرتاب‌ها از یکدیگر مستقل اند و احتمال موفقیت (شش آمدن) در هر پرتاب ۱/۶ است و این آزمایش n=۳ بار تکرار می‌شود، بنابراین شرایط توزیع دوجمله‌ای با$p={\frac {1}{6}}$، n=۳ برقرار است و توزیع احتمال X را به صورت زیر می‌نویسیم:

$p(k)={3 \choose k}(1/6)^{k}(5/6)^{3-k}\quad \quad \quad \quad$for\quad k=0,1,2,3

$\operatorname {E} [X]=np=3*{\frac {1}{6}}$

$\operatorname {Var} [X]=np(1-p)=3*{\frac {1}{6}}*{\frac {5}{6}}$

منابع

• «توزیع دوجمله‌ای». دانشنامهٔ رشد. دریافت‌شده در ۷ بهمن ۱۳۸۷.
• page 27,37 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
• saeed_ghahramani، Fundumentals_of_Probability_3rd.Edition

دانش اسدی دانشجوی امار