توزیع فوق‌هندسی

توزیع فوقِ‌هندسی (به انگلیسی: Hypergeometric distribution) مجموعه ای از N عضو را در نظر بگیرید که k عضو آن دارای یک ویژگی و بقیه، فاقد این ویژگی هستند. مانند 500 لامپ موجود در یک جعبه که 300 تای آن سالم و بقیه معیوب باشند. حال فرض کنید می خواهیم از این مجموعه، n عضو به صورت تصادفی (بدون جایگذاری) انتخاب کنیم. دراین صورت اگر متغیر تصادفی X تعداد عناصری در n برداشت باشد که دارای ویژگی موردنظر هستند، می گوئیم X دارای توزیع فوق هندسی است.

فوقِ هندسی

تابع جرم احتمال
تابع توزیع تجمعی
پارامترها	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
تکیه‌گاه	$\scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}}\,$
تابع جرم احتمال	${{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
تابع توزیع تجمعی	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],$ که در آن $\,_{p}F_{q}$ همان تابع فوق‌هندسی همگانی است.
میانگین	$n{K \over N}$
مُد	$\left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
واریانس	$n{K \over N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}$
چولگی	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
کشیدگی	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+{}$ ${}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}$
تابع مولد گشتاور	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
تابع مشخصه	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

تعریف

ابتدا برای درک بهتر این توزیع یک مثال مطرح می‌کنیم. فرض کنید از جعبه‌ای شامل D فیوز معیوب و N-D فیوز سالم، n فیوز را به‌طور تصادفی و بدون‌جایگذاری انتخاب‌کنیم. به‌علاوه فرض‌کنیدn، تعداد فیوزهای استخراجی از تعداد فیوزهای معیوب و فیوزهای سالم تجاوز نکند. فرض‌کنید متغیرتصادفی X تعداد فیوزهای معیوب خارج شده باشد. بنابراین:
تعریف: فرض کنید D,N و n اعداد صحیح و مثبت‌اند، با $n\leq min(D,N-D)$. دراینصورت،

$p(k)=P(X=k)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}\quad \quad \quad for\quad k\in {0,1,2,...,n}$

را تابع جرم‌احتمال توزیع فوق‌هندسی می‌گویند.

اثبات ترکیبیاتی تابع احتمال بودن

با استفاده از اتحاد ترکیبیاتی واندرموند به راحتی می‌توان نتیجه‌گرفت که

$\sum _{k=0}^{n}{{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}}={N \choose n}}$

که با استفاده از آن برای همه‌ی مقادیر k به‌سادگی می‌توان $\sum _{k=0}^{n}p(k)=1$ را نتیجه‌گرفت.

متوسط و واریانس متغیرتصادفی فوق‌هندسی

برای متغیرتصادفی فوق‌هندسی X که در بالا تعریف شد داریم:

$\operatorname {E} [X]={\frac {nD}{N}}$

$\operatorname {Var} [X]={\frac {nD(N-D)}{N^{2}}}(1-{\frac {n-1}{N-1}}).$

توجه‌کنید که اگر آزمایش ستخراج n قلم کالا از جعبه‌ای شامل D قلم کالای معیوب و N-D قلم کالای سالم را با جایگذاری انجام‌دهیم، دراینصورت X دارای توزیع دوجمله‌ای با پارامترهای n و$D \over N$ است. پس:

$\operatorname {E} [X]={\frac {nD}{N}}$

$\operatorname {Var} [X]=n{\frac {D}{N}}(1-{\frac {D}{N}})={\frac {nD(N-D)}{N^{2}}}.$

اینها نشان‌ می‌دهند که اگر اقلام با جایگذاری انتخاب شوند، دراینصورت امیدریاضی X تغییر نمی‌کند اما واریانس X افزایش پیدامی‌کند. با وجود این اگر n بسیار کوچکتر از N باشد دراینصورت باتوجه به فرمول واریانس، استخراج باجایگذاری تقریب خوبی برای استخراج بدون‌ جایگذاری است.

مثال

در یک کیسه 24 مهره وجود دارد که 4 تای آن قرمز و مابقی سفید هستند. اگر از این کیسه 6 مهره به تصادف و بدون جایگذاری برداریم وX تعداد مهره‌های قرمز باشد؛ توزیع احتمال X را به دست آورید. احتمال اینکه هیچ مهره قرمزی بدست نیاید چقدر است؟ داریم n=6 ,D=4 , N=24 بنابراین توزیع احتمال X فوق هندسی و به صورت زیر است:

$p(k)={{{4 \choose k}{{20} \choose {6-k}}} \over {24 \choose 6}}\quad \quad \quad k\in {0,1,2,3,4}$

در نتیجه احتمال اینکه هیچ مهره‌ای قرمز نباشد می‌شود:

$p(0)={{{4 \choose 0}{{20} \choose {6}}} \over {24 \choose 6}}=0.288$

منابع

• saeed_ghahramani، Fundumentals_of_Probability_3rd.Edition