توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته (GIG : Generalized Inverse Gaussian) در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته با سه پارامتر است. تابع چگالی احتمال این توزیع به صورت زیر است:

Generalized Inverse Gaussian

پارامترها	$a>0,b>0,p\in \mathbb {R}$
تکیه‌گاه	$x>0$
	$f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2}$
میانگین	${\frac {{\sqrt {b}}\ K_{-1-p}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {a}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}$
مُد	${\frac {(p-1)+{\sqrt {(p-1)^{2}+ab}}}{a}}$
	${\Bigl (}{\frac {b}{a}}{\Bigl )}\left[{\frac {K_{p+2}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}-{\Biggl (}{\frac {K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}{\Biggr )}^{2}\right]$
تابع مولد گشتاور	${\biggl (}{\frac {a}{a-2t}}{\biggl )}^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2t)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}$

$f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2},\qquad x>0,$

که $K_{p}$یک تابع بسل اصلاح شده از نوع دوم است، a و b مقادیری مثبت و p یک پارامتر حقیقی است. این توزیع به طور گسترده‌ای در زمین‌آمار، زبانشناسی آماری، دانش مالی و سرمایه‌گذاری و غیره استفاده میشد.

مشخصات

مجموع

بارندورف-نیلسن (O. Barndorff-Nielsen) و هالگرین (C. Halgreen) اثبات کردند که توزیع GIG بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

آنتروپی

آنتروپی توزیع GIG به صورت زیر داده میشود:

${\begin{aligned}H={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {b}{a}}\right)&{}+\log \left(2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)-(p-1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\\&{}+{\frac {\sqrt {ab}}{2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\left(K_{p+1}\left({\sqrt {ab}}\right)+K_{p-1}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)\end{aligned}}$

توزیع‌های مرتبط

توزیع گاوسی معکوس و توزیع گاما حالت‌های خاصی از توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $p=-1/2$ و $b=0$ هستند.

به طور دقیق‌، یک توزیع گاوسی معکوس با فرم

$f(x;\mu ,\lambda )=\left[{\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right]^{1/2}\exp {\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}$

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $a=\lambda /\mu ^{2}$، $b=\lambda$ و $p=-1/2$ است.

یک توزیع گاما با فرم

${\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=\beta ^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $a=2\beta$، $b=0$ و $p=\alpha$ است.

یک توزیع گاما معکوس، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $a=0$ و $p<0$ است.

یک توزیع هایپربولیک، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $p=0$ است.

کاربرد‌های احتمالی

1) توزیع GIG به عنوان قانونی برای کسر‌های مسلسل

$X$ و $Y$ را دو متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که $X>0$ و $Y\sim \gamma (p,{\frac {a}{2}})$ برای $p,a>0$. در این صورت داریم $X=d{\frac {1}{Y+X}}$ اگر و فقط اگر $X\sim GIG(-p,a,a)$.

$X$، $Y_{1}$ و $Y_{2}$ را سه متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که $X>0$، $Y_{1}\sim \gamma (p,{\frac {b}{2}})$ و $Y_{2}\sim \gamma (p,{\frac {a}{2}})$ برای $p,a,b>0$. در این صورت داریم $X=d{\frac {1}{Y_{1}+{\frac {1}{Y_{2}+X}}}}$ اگر و فقط اگر $X\sim GIG(-p,a,b)$.

به طور کلی اگر $(Y_{i})_{i\geq 1}$ یک دنباله از متغیر تصادفی‌های مستقل از هم باشد به طوری که ${\mathcal {L}}(Y_{2i-1})={\mathcal {L}}(Y_{1})=\gamma (\lambda ,{\frac {b}{2}})$ و ${\mathcal {L}}(Y_{2i})={\mathcal {L}}(Y_{2})=\gamma (\lambda ,{\frac {a}{2}})$ برای $i\geq 1$، آنگاه داریم:

${\mathcal {L}}{\Biggl (}{\frac {1}{Y_{1}+{\frac {1}{Y_{2}+{\frac {1}{Y_{3}+{}^{._{._{.}}}}}}}}}{\Biggr )}=GIG(-\lambda ,a,b)$.

2) خاصیت Matsumoto-Yor

دو متغیر تصادفی مثبت و مستقل از هم $X$ و $Y$ را در نظر بگیرید به طوری که $X\sim GIG(-p,a,b)$ و $Y\sim \Gamma (p,{\frac {a}{2}})$ برای $p,a,b>0$. خاصیت Matsumoto-Yor بیان می‌کند که متغیر تصادفی‌های $U={\frac {1}{X+Y}}$ و $V={\frac {1}{X}}-{\frac {1}{X+Y}}$ از هم مستقل هستند.

مثال‌هایی از کاربرد توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

• Jorgensen در سال 1982 ثابت کرد که توزیع GIG فیت مناسب‌تری نسبت به توزیع نمایی در داده های مورد استفاده در موارد زیر است:
  • فواصل زمانی بین خرابی‌های پی‌در‌پی تجهیزات تهویه‌ی هوا در هواپیمای بوئینگ 720
  • فواصل زمانی بین ضربان‌ها در یک فیبر عصبی
  • فواصل زمانی بین رد شدن وسایل نقلیه از یک نقطه
• Iyengar و Liao در سال 1997: فعالیت عصبی؛ مقایسه بین فیت توزیع GIG و فیت توزیع نرمال لگاریتمی.
• Chebana et al در سال 2010: کاربرد در وقایع مفرط هیدرولوژیکی

منابع

• Gérard Letac and Vanamamalai Seshadri، A characterization of the generalized inverse Gaussian distribution by continued fractions، Probability Theory and Related Fields, Vol 62 (1983)، pp. 485-489 doi:10.1007/BF00534200