ماتریس وندرموند

ماتریس وندرموند (به انگلیسی: Vandermonde matrix) در جبر خطی به ماتریس‌هایی گویند که دارای یک تصاعد هندسی در هر سطر به صورت زیر هست :

$V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\end{bmatrix}}$

یا می‌توان گفت : $V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}\,$

برای یک ماتریس مربع داریم : $\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}).$

دلیل نام‌گذاری

این ماتریس به نام یابنده آن الکساندر تئوفیل وندرموند (به انگلیسی: Alexandre-Théophile Vandermonde) نام گذاری گشته است .

ویژگی

دترمینان ماتریس مربع بنا به فرمول لایب‌نیتز : $\det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma (i)-1},$

که S_n یک جایگشت از $\{1,\ldots ,n\}$ و $\operatorname {sgn}(\sigma )$ توازن یک جایگشت σ هست. که اثبات می‌گردد برابر است با : $\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma (i)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$

کاربرد

این ماتریس در زمینه‌های زیر کاربرد دارد :

• ماتریس وندرموند یک چند جمله‌ای را در یک مجموعه‌ای از نقاط ارزیابی می‌کند.این ماتریس ضرایب یک چند جمله‌ای

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}$ را به مقدارهایی که چندجمله‌ای در نقطه $\alpha _{i}.$ اتفاق بیفتد تبدیل می‌کند. برای نقاط متمایز ، تبدیل از ضرایب به مقدارها تناظر یک به یک هست و به همین ترتیب مشکل درون یابی چند جمله‌ای قابل حل است.

• در چند فرم از تصحیح خطای رید-سالامون
• برای تبدیل گسسته فوریه
• در فرمول فروبونیوس

منابع

• Vandermonde matrix
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Vandermonde matrix». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۵ مه ۲۰۱۴.