مختصات دوقطبی

مختصات دوقطبی (انگلیسی: Bipolar coordinates) یک دستگاه مختصات متعامد در فضای دوبعدی است. دو گونهٔ معمول دستگاه مختصات دوقطبی تعریف می‌شود. اولی بر اساس دوایر آپولونیوسی است. منحنی‌های ثابت σ و τ دایره‌هایی هستند که در زوایای راست همدیگر را قطع می‌کنند. دستگاه مختصات دو کانون $F_{1}$ و $F_{2}$ دارد که به ترتیب در (−a, 0) و (a, 0)، روی محور xهای دستگاه مختصات دکارتی ثابتند. گونهٔ دوم دستگاه مختصات دوقطبی دومرکزی است. گونهٔ سومی هم هست که بر اساس دو قطب ایجاد می‌شود و به مختصات دوزاویه‌ای موسوم است.

دستگاه مختصات دوقطبی

عبارت دوقطبی گاه برای توصیف منحنی‌هایی که دو کانون دارند (مثل بیضی و هذلولی) به کار می‌رود. بااین‌حال عبارت مختصات دوقطبی صرفاً برای دستگاهی که شرح آن رفت به کار می‌رود و برای اشاره به دستگاه‌های مختصات مرتبط با دیگر منحنی‌ها (مانند دستگاه مختصات دائرةالبروجی که بر اساس بیضی است) به کار نمی‌رود.

تعریف

معمول‌ترین تعریف مختصات دوقطبی (σ, τ) عبارت است از:

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

که در آن مختصات σ نقطهٔ P برابر زاویه F₁ P F₂ است، و مختصات τ آن برابر لگاریتم طبیعی نسبت فاصله d₁ و d₂ به کانون

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

(فراموش نشود که F₁ و F₂ به‌ترتیب در (−a, 0) و (a, 0)قرار دارند) توجه شود که بازه σ از -π/۲ تا π/۲است و یازه τ از $-\infty$ تا $\infty$. همین‌طور

$x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Bipolar coordinates». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ دسامبر ۲۰۱۸.