نابرابری گرانوال

نابرابری گرانوال که در ریاضیات به آن لم گرانوال یا نابرابری گرانوال- بلمن گفته می‌شود، این امکان را می‌دهد که یک تابع که نابرابری دیفرانسیلی یا نابرابری انتگرالی خاصی را ارضا می‌کند، به وسیلهٔ تابع پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل و یا معادلهٔ انتگرالی متناظر محدود کنیم. نابرابری گرانوال ابزار مهمی برای رسیدن به تخمین‌های مناسب در نظریهٔ معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل تصادفی است. فرم دیفرانسیلی این نابرابری در سال ۱۹۱۹ توسط گرانوال و فرم انتگرالی آن در سال ۱۹۴۳ توسط ریچارد بلمن به اثبات رسید.

لم گرانوال

فرض کنید تابع $g(t)$ یک تابع حقیقی‌مقدار و پیوسته باشد که در نابرابری $g(t)\geq 0$ صدق می‌کند،و هم‌چنین

$g(t)\leq C+K\int _{0}^{t}g(s)ds$

باشد، که $t\in [0,a]$ و $C$ و $K$ ثوابت مثبت باشند، آنگاه برای $t\in [0,a]$ داریم:

$g(t)\leq Ce^{Kt}$

اثبات

فرض کنید برای تمام $t\in [0,a]$ داریم: $G(t)=C+K\int _{0}^{t}g(s)ds$ ، حال $G(t)\geq g(t)$ و $G(t)>0$ است برای تمام $t\in [0,a]$ . از قضیه‌ی اساسی حسابان نتیجه می‌شود که:

$G'(t)=Kg(t)$

آنگاه نتیجه می‌شود که :

${\frac {G'(t)}{G(t)}}={\frac {Kg(t)}{G(t)}}\leq {\frac {KG(t)}{G(t)}}\leq K$

برای تمام $t\in [0,a]$ . و این رابطه برابر است با:

${\frac {d}{dt}}(logG(t))\leq K$

یا

$logG(t)\leq Kt+logG(0)$

یا

$G(t)\leq G(0)e^{Kt}=Ce^{Kt}$

که برای تمام $t\in [0,a]$ نتیجه می‌شود که $g(t)\leq Ce^{Kt}$