نظریه نمایش

نظریه نمایش شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه ساختار های جبری از طریق نمایش عناصر آن ها به صورت تبدیل های خطی فضاهای برداری پرداخته و به مطالعه مدول ها روی این ساختار های جبری می پردازد. اساساً، این گونه نمایش ها، اشیاء ساختار های جبری را با توصیف عناصرشان به کمک ماتریس ها و عملگر های جبری چون جمع و ضرب ماتریسی، ملموس تر می کنند. اشیاء جبری که رام چنین توصیفاتی می شوند شامل گروه ها، جبر های شرکت پذیر و جبر های لی می شوند. برجسته ترینشان (و از نظر تاریخی اولینشان) نظریه نمایش گروه هاست که در آن عناصر گروه توسط ماتریس های معکوس پذیر چنان نمایش داده می شوند که عمل گروهی حکم همان عمل دوتایی گروه را دارد.

نظریه نمایش به مطالعه چگونگی "کنش" ساختار های جبری بر روی اشیاء می پردازد. یکی از ساده ترین مثال های آن را در تصویر فوق می بینید، در این تصویر مشاهده می کنید که چگونه تقارن های یک چند ضلعی منظم، شامل انعکاس ها و دوران ها، بر روی این چند ضلعی عمل تبدیل را انجام می دهند.

نظریه نمایش روش مفیدیست، چرا که مسائل جبر مجرد را به مسائل جبر خطی که به خوبی شناخته شده اند تقلیل می دهد. به علاوه، فضای برداری که یک گروه (به عنوان مثال) را روی آن نمایش می دهیم می تواند بی نهایت بعدی باشد، و حتی مثلاً می تواند یک فضای هیلبرت باشد که در این صورت می توان روش های آنالیزی را بر روی نظریه گروه ها اعمال کرد. نظریه نمایش در فیزیک هم اهمیت دارد، چرا که به عنوان مثال، به توصیف چگونگی تأثیرگذاری تقارن گروهی یک سیستم فیزیکی بر روی مجموعه جواب معادلات توصیف کننده آن سیستم می پردازد.

نظریه نمایش بین شاخه های مختلف ریاضیات نفوذ بالایی دارد، به دو علت: یکی این که کاربرد های نظریه نمایش وسیعند، به علاوه اثرات آن بر روی جبر، نظریه نمایش بر روی موارد زیر هم اثرگذار است:

• بر روی آنالیز فوریه پرتو افکنده و آن را از طریق آنالیز هارمونیک تعمیم می دهد.
• از طریق نظریه پایا و برنامه ارلانگن به هندسه ارتباط پیدا می کند.
• از طریق فرم های اتومورف و برنامه لانگلند بر روی نظریه اعداد اثرگذار است.

ثانیاً، رهیافت های گسترده ای به نظریه نمایش وجود دارد. همان اشیاء را می توان با استفاده از روش های هندسه جبری، نظریه مدول، نظریه تحلیلی اعداد، هندسه دیفرانسیل، نظریه عملگر ها، ترکیبیات جبری و توپولوژی نیز مطالعه کرد.

موفقیت نظریه نمایش منجر به چندین تعمیم شده است. یکی از عام ترین های آن نظریه رسته هاست. اشیاء جبری که نظریه نمایش را می توان از دیدگاه آن (از دیدگاه نظریه رسته ها) به صورت رسته های خاصی دید، و نمایش ها را به صورت فانکتور هایی از اشیاء رسته به رسته فضاهای برداری دید. این توصیف به دو تعمیم آشکار اشاره می کند: اولین آن این که اشیاء جبری را می توان با رسته های عام تری جایگزین کرد؛ دومین آن این که رسته هدف را می توان به جای رسته فضاهای برداری با رسته های شناخته شده ی دیگری جایگزین نمود.

تعاریف و مفاهیم

فرض کنید $V$ یک فضای برداری روی میدانی چون $\mathbf {F}$. به عنوان مثال، فرض کنید $V$ یکی از $\mathbf {R} ^{n}$ یا $\mathbf {C} ^{n}$ باشد، یعنی به ترتیب یک فضای برداری معمولی $n$-بعدی روی $\mathbf {R} ^{n}$ یا $\mathbf {C} ^{n}$ باشد. در این صورت ایده نظریه نمایش این است که جبر مجرد را با استفاده از ماتریس های $n\times n$ از اعداد حقیقی یا مختلط ملموس کنند.

سه نوع مختلف از اشیاء جبری وجود دارد که برای آن ها این کار (ملموس سازی با استفاده از ماتریس ها) را می توان انجام داد: گروه ها، جبر های شرکت‌پذیر و جبر های لی.

• مجموعه تمام ماتریس های معکوس‌پذیر $n\times n$ تحت ضرب ماتریسی تشکیل گروه می دهند و نظریه نمایش گروه ها به تحلیل یک گروه با توصیف ("نمایش") عناصرش بر اساس ماتریس های معکوس پذیر می پردازد.
• جمع و ضرب ماتریسی مجموعه تمام ماتریس های $n\times n$ را تبدیل به جبر شرکت‌پذیر کرده و لذا متناظر با نظریه نمایش جبر های شرکت‌پذیر خواهد بود.
• اگر ضرب ماتریسی MN را با جابجاگر ماتریسی $MN-NM$ جایگزین کنیم، آنگاه ماتریس های $n\times n$ تبدیل به جبر لی می شوند، که منجر به نظریه نمایش جبر های لی خواهد شد.

این کار را می توان به هر میدان $\mathbb {F}$ و هر فضای برداری $V$ روی $\mathbb {F}$ تعمیم داد، که در آن نگاشت های خطی جایگزین ماتریس ها و ترکیب جایگزین ضرب ماتریسی می شود. اشیائی که با این تعمیم شکل می گیرند بدین قرارند: گروهی به نام $GL(V,\mathbb {F} )$ از خودریختی (اتومورفیسم) های $V$، جبر شرکت‌پذیر $n\times n$ از تمام درون‌ریختی (اندومورفیسم) های $n\times n$ و جبر لی متناظر آن یعنی ${\mathfrak {gl}}(V,\mathbb {F} )$.

منابع

• Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7.
• Bargmann, V. (1947), "Irreducible unitary representations of the Lorenz group", Annals of Mathematics, 48 (3): 568–640, doi:10.2307/1969129, JSTOR 1969129.
• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5.
• Borel, Armand; Casselman, W. (1979), Automorphic Forms, Representations, and L-functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1435-2.
• Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.
• Gelbart, Stephen (1984), "An Elementary Introduction to the Langlands Program", Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2): 177–219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
• Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (به انگلیسی). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103..
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
• Gordon, James; Liebeck, Martin (1993), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44590-0.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
• Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.
• Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
• Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2.
• Kac, Victor G. (1977), "Lie superalgebras", Advances in Mathematics, 26 (1): 8–96, doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
• Kac, Victor G. (1990), Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6.
• Knapp, Anthony W. (2001), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4.
• Kim, Shoon Kyung (1999), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6.
• Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (1997), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7.
• Lam, T. Y. (1998), "Representations of finite groups: a hundred years", Notices of the AMS, 45 (3, 4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II).
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], vol. 34 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 0214602; MR0719371 (2nd ed.); MR1304906(3rd ed.)
• Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55821-1.
• Peter, F.; Weyl, Hermann (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Mathematische Annalen, 97 (1): 737–755, doi:10.1007/BF01447892, archived from the original on 2014-08-19.
• Pontrjagin, Lev S. (1934), "The theory of topological commutative groups", Annals of Mathematics, 35 (2): 361–388, doi:10.2307/1968438, JSTOR 1968438.
• Sally, Paul; Vogan, David A. (1989), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1526-7.
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909.
• Sharpe, Richard W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, ISBN 978-0-387-94732-7.
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7.
• Sternberg, Shlomo (1994), Group Theory and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3.
• Tung, Wu-Ki (1985). Group Theory in Physics (1st ed.). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577.
• Weyl, Hermann (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 ed.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN 978-0-486-60269-1.
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd ed.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.
• Wigner, Eugene P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Representation Theory». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۵ سپتامبر ۲۰۱۹.

پیوند به بیرون

• "Representation theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Alexander Kirillov Jr., An introduction to Lie groups and Lie algebras (2008). Textbook, preliminary version pdf downloadable from author's home page.