خلاصه

توضیحSquaring the circle-Ramanujan-1914.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion nach Ramanujan von 1914, mit Weiterführung der Konstruktrion English: Squaring the circle, approximitiy construction according Ramanujan of 1914, with continuation of the construction
تاریخ	‏۲۰ نوامبر ۲۰۱۶‏
منبع	اثر شخصی
پدیدآور	Petrus3743
دیگر نسخه‌ها
SVG genesis InfoField	کد مبدأ این پروندهٔ گرافیک برداری مقیاس‌پذیر، معتبر.   این نمودار با GeoGebra و به‌دست Petrus3743 ساخته شده است   This SVG trigonometry uses the path text method.

Im Jahr 1914 ermittelte Ramanujan für eine noch genauere Quadratur als die von 1913, den folgenden Näherungswert für die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi \approx {\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}=3{,}141592652\dots }$^[1]

in dem acht Nachkommastellen mit denen von ${\displaystyle \pi }$ gleich sind.

Ramanujan konstruierte in dieser Quadratur nicht die Seitenlänge des gesuchten Quadrates, es genügte ihm die Strecke OS darzustellen.^[2] In der obigen Weiterführung der Konstruktion, wird die Strecke OS zusammen mit der Strecke OB zur Darstellung der mittleren Proportionalen (rote Strecke OG) herangezogen.^[3]

Fehler

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• Konstruierte Seite des Quadrates a = 1,77245385062141... [LE]
• Soll-Seite des Quadrates a_s = ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ = 1,772453850905516... [LE]
• Absoluter Fehler = a - a_s = -0,00000000028411... = -2,841...E-10 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates A = a² = 3,14159265258265... [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates A_s = ${\displaystyle {\pi }}$ = 3,141592653589793... [FE]
• Absoluter Fehler = A - A_s = -0,000000001007143... = -1,007...E-9 [FE]

Beispiele zur Veranschaulichung der Fehlers

• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10.000 km wäre der Fehler der Seite a ≈ -2,8 mm
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ -0,1 mm²

Error

In a circle of radius r = 1 [unit length, ul]:

• Constructed side of the square a = 1.77245385062141... [ul]
• Target side of the square a_s = ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ = 1.772453850905516... [ul]
• Absolute error = a - a_s = -0.00000000028411... = -2.841...E-10 [ul]
• Surface of the constructed square A = a² = 3.14159265258265... [unit area, ua]
• Target area of the square A_s = ${\displaystyle {\pi }}$ = 3.141592653589793... [ua]
• Absolute error = A - A_s = -0,000000001007143... = -1.007...E-9 [ua]

Examples to illustrate the errors:

• In a circle of radius r = 10,000 km would be the fault of the side length a ≈ -2.8 mm
• In the case of a circle with the radius r = 10 m would be the error of the surface A ≈ -0.1 mm²

اجازه‌نامه

من، صاحب حقوق قانونی این اثر، به این وسیله این اثر را تحث اجازه‌نامهٔ ذیل منتشر می‌کنم:

این پرونده تحت پروانهٔ Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International منتشر شده است.

شما اجازه دارید:

• برای به اشتراک گذاشتن – برای کپی، توزیع و انتقال اثر
• تلفیق کردن – برای انطباق اثر

تحت شرایط زیر:

• انتساب – شما باید اعتبار مربوطه را به دست آورید، پیوندی به مجوز ارائه دهید و نشان دهید که آیا تغییرات ایجاد شده‌اند یا خیر. شما ممکن است این کار را به هر روش منطقی انجام دهید، اما نه به هر شیوه‌ای که پیشنهاد می‌کند که مجوزدهنده از شما یا استفاده‌تان حمایت کند.
• انتشار مشابه – اگر این اثر را تلفیق یا تبدیل می‌کنید، یا بر پایه‌ آن اثری دیگر خلق می‌کنید، می‌‌بایست مشارکت‌های خود را تحت مجوز یکسان یا مشابه با ا اصل آن توزیع کنید.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

1. ↑ S. A. Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π In: Quarterly Journal of Mathematics. 12. Another curious approximation to π is, 43, (1914), S. 350–372. Aufgelistet in: Published works of Srinivasa Ramanujan Abgerufen am 21. November 2016
2. ↑ Modular Equations and Approximations to π In: Quarterly Journal of Mathematics. 12. Another curious approximation to π is ... Fig. 2, 44, (1914), S. 350–372. Aufgelistet in: Published works of Srinivasa Ramanujan Abgerufen am 21. November 2016
3. ↑ Universität Magdeburg A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale (PDF-Datei) Abgerufen am 21. November 2016