چهاربردار

(تغییرمسیر از چاربردار)

در نظریه نسبیت خاص بردارها چهار بعدی هستند (بر خلاف فیزیک کلاسیک که در آن بردارها سه بعدی بودند) و به همین دلیل چهار بعدی بودن بردارها در نظریه نسبیت، به آن‌ها لقب چهار بردار داده‌اند.

در فیزیک کلاسیک

ویرایش

در فیزیک کلاسیک بردارها   سه بعدی و در سه بعد (x, y, z) هستند.

در نظریه نسبیت

ویرایش

در نظریه نسبیت بردارها   علاوه بر آنکه شامل سه بعد مکانی   هستند شامل یک بعد زمانی   نیز هستند. ما چهار بردار مکان-زمان را به شرح زیر تعریف می‌کنیم:

  که در آن  

  •  
  •  
  •  
  •  

تبدیلات لورنتس

ویرایش

بر حسب   تبدیلات لورنتس شکل متقارن تری به خود می‌گیرند:

  •  
  •  
  •  
  •  

که در آن‌ها   پارامتر سرعت و   عامل لورنتس هستند.

تبدیلات لورنتس به صورت فشرده

ویرایش

با استفاده از چهار بردار می‌توان تبدیلات لورنتس را به صورت فشرده تری بازنویسی کرد:

 

ماتریس Λ

ویرایش

ضریب‌های   را می‌توان به عنوان عناصری از یک ماتریس Λ دانست:

 

قرارداد جمع انیشتین

ویرایش

برای اینکه نخواهیم از علامت جمع بندی Σ استفاده کنیم میتوانیم از قرارداد جمع انیشتین استفاده کنیم که می گوید نمادهای یونانی تکراری را می‌توان از ۰ تا ۳ جمع کرد, در نهایت معادله فشرده تبدیلات لورنتس می‌شود:

 

بعنوان مثال:

  •  
  •  

کمیت ناوردا چیست؟

ویرایش

در فیزیک کمیتی که در هر سیستم اینرسی دارای همان مقدار می‌باشد را به نام ناوردا می نامند، (به عنوان مثال کمیت   در چرخش‌ها ناوردا می‌باشد.)

ناوردای لورنتس به صورت فشرده

ویرایش

معادله فشرده ناوردای لورنتس با قرارداد جمع انیشتین می‌شود:

 

(نکته: چهار بردار اصلی را با اندیس بالا نمایش می دهند و آن را را چهار بردار پادوردا می نامند، تمام این عملیات بی‌گمان با مهارت خیلی زیاد در فرمول‌نویسی ظاهر می‌شوند فقط به خاطر اینکه سه علامت منفی در ناوردای لورنتس را از بین ببریم.)

چهار بردار هموردا و متریک g

ویرایش

اجزاء تانسور متریک   را می‌توان به صورت یک ماتریس g نشان داد:

 

چهار بردار هموردا را به شکل زیر و با اندیس پایین تعریف می کنیم:  

(نکته: در سیستم‌های مختصات غیر دکارتی و در فضاهای خمیده نسبیت عام اجزاء تانسور متریک تغییر می‌کنند.)

ویژگی‌های چهار بردار مکان-زمان

ویرایش

چهار بردار مکان-زمان   برای تمام چهار بردارها یک الگو می‌باشد. به عنوان مثال ما یک چهار برداری   را به عنوان یک چیز چهار مؤلفه‌ای بهمان طریق   تبدیل می‌شود، زمانی که از یک سیستم اینرسی به سیستم دیگر می رویم با همان ضریب   تعریف می کنیم:

 

نحوه تعریف هموردای چهار بردار اصلی

ویرایش

برای هر کدام از چنین چهار بردارهای پادوردایی   می‌توان یک چهار برداری هموردا   نسبت داد که به سادگی با تغییر علامت مؤلفه‌های فضائی بدست آمده‌است:

 

همچنین می‌توان از چهار برداری هموردا بوسیله معکوس کردن دوباره علائم به چهار بردار پادوردا برگردیم:

 

(نکته: چونکه ماتریس g عکس خودش می‌باشد.)

نحوه نمایش نقطه ائی

ویرایش

اگر شما از نوشتن نمادها خسته می شوید می‌توانید از علامت نقطه استفاده کنید:

 

طبقه‌بندی ناورداهای لورنتسی

ویرایش

توجه کنید که ناوردای لورنتسی   لزوماً مثبت نیست، در واقع ما می‌توانیم تمام چهار برداری‌ها را به علامت به سه دسته طبقه‌بندی کنیم:

  •   را زمان-گونه (شبه زمان) می نامیم اگر:  
  •   را فضا-گونه (شبه فضا) می نامیم اگر :  
  •   را نور-گونه (شبه نور) می نامیم اگر:  

از بردارها تا تانسورها

ویرایش

مرحله انتقال از بردارها تا تانسورها مرحله کوتاهی است، یک تانسور مرتبه دوم   حامل دو اندیس و دارای (۴×۴=۱۶)جزء بوده و با دو ضریب Λ تبدیل می‌شود:

 

(نکته: در حقیقت یک بردار   تانسور مرتبه یک و یک ناوردا   تانسور مرتبه صفر است.)

انواع تانسورها

ویرایش
  • تانسور مرتبه صفر، نمایش اسکالری دارد:  
  • تانسور مرتبه یک، نمایش برداری دارد:  
  • تانسور مرتبه دو (مولفه‌های تانسور را در یک ماتریس می‌ریزند، یعنی با ماتریس نمایش می‌دهند):  
  • تانسور هموردا:  
  • تانسور مخلوط:  

توجه کنید که تانسور یک موجود ریاضیاتی است و اسکالر، بردار، ماتریس و... نیست؛ و تنها با بردار، ماتریس و... نمایش داده می‌شود.

توجه کنید که حاصل‌ضرب دو تانسور، خودش یک تانسور می‌شود.

جستارهای وابسته

ویرایش

منابع

ویرایش