کمانش در علم مقاومت مصالح، به رفتاری گفته می‌شود که معمولاً از عضو تحت فشار (ستون، دیوار برشی، ...) سر می‌زند. همچنین گمان می‌رود که در زبان پارسی در گذشته واژه تنبش (اسم مصدر تنبیدن) با معنی کمانش یا buckling به کار می‌رفته‌است. (واژه‌های تنبان و تنبک از واژه‌های ساخته شده از این ریشه می‌باشند) اعضای تحت فشار یک سازه، پیش از رسیدن به حداکثر مقاومت فشاری و در حقیقت پیش از شکست تحت اثر تنش تسلیم فشاری، تحت اثر پدیده کمانش دچار شکست خواهند گردید. هرچه ستون بلندتر و سطح مقطع کوچکتری داشته باشد (ستون لاغر)، زودتر تحت اثر پدیده کمانش تسلیم می‌گردد.

پدیده کمانش در عصای چارلی چاپلین

تعریف علمی از کمانش عبارت است از ناپایداری به زبان ریاضی که منجر به شکست می‌شود.

زمانی که سازه تحت فشار قرار گیرد، احتمال وقوع کمانش وجود دارد. کمانش به صورت تغییر شکل جانبی ناگهانی در یک عضو سازه‌ای تعریف می‌شود. این پدیده ممکن است تحت تنش فشاری که بر سازه وارد شده و اندازه آن کمتر از تنش تسلیم ماده تشکیل دهنده سازه است، اتفاق بیافتد.

زمانیکه نیروی وارد شده بر سازه مانند یک ستون، افزایش می‌یابد، ممکن است به اندازه‌ای بزرگ باشد که سبب ناپایداری عضو شود که می‌گوییم سازه تحت کمانش قرار گرفته‌است. بارگذاری بیشتر، سبب تغییرشکل‌های زیاد و تا حدودی غیرقابل پیش‌بینی خواهد شد که ممکن است سبب از بین رفتن کامل ظرفیت باربری عضو شود. اگر تغییر شکلی که در اثر کمانش در عضو ایجاد می‌شود سبب فروپاشی کامل عضو نشود، آن عضو می‌تواند بار وارده که سبب کمانش آن می‌شود را تحمل نماید.

اگر عضو کمانش یافته، قسمتی از ساختار بزرگتر مانند یک ساختمان باشد، تحت باری بیش از باری که سبب ایجاد کمانش در عضو می‌شود قرار گیرد، این بار در کل سازه توزیع می‌شود.

به زبان ریاضی، کمانش دو شاخه از حل معادله تعادل می‌باشد. در یک نقطه مفروض، تحت بارگذاری افزایشی، هر بار اضافی می‌تواند به دو بیان از تعادل، پایدار شود: حالت فشار خالص (بدون هیچ تغییر شکل جانبی) و حالت تغییر شکل جانبی.

کمانش در ستونویرایش

نسبت طول مؤثر ستون به حداقل شعاع چرخش مقطع عرضی را ضریب لاغری گویند که با حرف یونانی λ نمایش داده می‌شود. با استفاده از این ضریب، ستون‌ها و نوع شکست ایجاد شده در آن‌ها دسته‌بندی می‌شوند. ضریب لاغری در ملاحظات طراحی فاکتور مهمی است. تمام ارزش‌های تقریبی زیر برای ساده‌سازی مسئله به کار می‌رود:

اگر باری در یک ستون از مرکز گرانش (مرکز) سطح مقطع آن ستون اعمال شود، به آن نیروی محوری گویند؛ هر نیرویی که از نقطه‌ای غیر از این نقطه وارد شود به آن نیروی خارج از مرکز گویند. یک ستون کوتاه تحت نیروی محوری ممکن است قبل از اینکه در آن کمانشی ایجاد شود، شکست نماید، اما، در یک ستون بلند تحت بار مشابه، به صورت جهش ناگهانی جانبی (کمانش) به حالت خمشی، دچار شکست خواهد شد.

حالت کمانشی تغییر شکل، حالت شکست در نظر گرفته می‌شود و معمولاً قبل از اینکه تنش فشاری محوری (فشار مستقیم) سبب تسلیم و در نهایت شکست عضو فشاری شود، اتفاق می‌افتد. همچنین، طول متوسط ستون تحت تأثیر ترکیبی از تنش فشاری مستقیم و خمش، دچار شکست خواهد شد.

ستون کوتاه، ستونی است که ضریب لاغری آن از ۵۰ تجاوز نکند.

ستون با طول متوسط ستونی است که ضریب لاغری آن بین ۵۰ تا ۲۰۰ باشد و رفتار آن به مقاومت محدود مصالح تشکیل دهنده آن وابسته است.

در نهایت، ستونی با ضریب لاغری بالای ۲۰۰، ستونی بلند خواهد بود و رفتار آن تحت تأثیر مدول الاستیسیته مصالح تشکیل دهندهٔ آن قرار دارد.

در تعریف دیگر، ستون کوتاه، نسبت طول فاقد تکیه‌گاه به حداقل بعد مقطع جانبی برابر یا کمتر از ۱۰ است. اگر این نسبت بزرگتر از ۱۰ باشد، ستون بلند در نظر گرفته می‌شود (گاهی ستون لاغر نیز نامیده می‌شود).

تئوری رفتار ستون‌ها توسط ریاضی‌دان و فیزیکدان برجستهٔ سوییسی، لئونارد اویلر در سال ۱۷۵۷ میلادی مورد تحقیق قرار گرفت. وی رابطه‌ای برای محاسبه حداکثر بار محوری که یک ستون بلند، لاغر و ایدئال بدون اینکه دچار کمانش شود، می‌تواند متحمل شود، ارائه داد.

یک ستون ایده آل ستونی است مستقیم، ساخته شده از مصالح همگن و فارغ از تنش اولیه.

زمانی که بار وارده به بار اویلر می‌رسد، که گاهی به آن بار بحرانی نیز می‌گویند، ستون در حالت نامتعادل قرار می‌گیرد. در این شرایط، اعمال کوچکترین بار جانبی، ستون به صورت کاملاً ناگهانی به حالتی جدید جهیده و می‌گوییم ستون دچار کمانش شده‌است. فرمولی که توسط اویلر ارائه شده‌است در ادامه آمده‌است:

 

در رابطه بالا

F: بیشترین بار یا بار بحرانی (بار عمودی در ستون)

E: مدول الاستیسیته

I: ممان اینرسی سطح مقطع ستون

L: طولی از ستون که فاقد تکیه‌گاه است.

K: ضریب طول مؤثر ستون (که مقدار آن به شرایط تکیه‌گاهی انتهایی ستون وابسته است)

اگر دو انتها تکیه گاه غلطکی باشد (چرخش آزاد، لولا شد) در نتیجه K=۱

اگر دو انتها تکیه گاه گیردار (فیکس) باشد در نتیجه K=۰٫۵

اگر یکی گیردار و دیگری غلطکی باشد در نتیجه K=۰٫۷۰۷۱

اگر یک انتها گیردار و انتهای دیگر حرکت جانبی آزاد باشد: K=۲

میزان الاستیسیته بودن مصالح ستون و نه مقاومت فشاری مصالح مشخص‌کننده نیروی کمانشی ستون می‌باشد.

میزان نیروی کمانش به‌طور مستقیم به ممان اینرسی مقطع ستون وابسته است.

شرایط تکیه‌گاهی نیز تأثیر قابل توجهی بر نیروی بحرانی ستون لاغر خواند داشت. شرایط تکیه‌گاهی حالت خمیده شدن ستون را و فاصله میان نقاط عطف در منحنی تغییر شکل ستون را مشخص می‌نمایند.

عامل دیگر تأثیرگذار دیگر در محاسبه نیروی کمانش، نوع مصالح تشکیل دهنده عضو است که باتغییر مدول الاستیسته، مقدار این نیرو نیز تغییر خواهد کرد.

فاکتور مؤثر دیگر، طول مؤثر ستون است؛ برای مثال اگر این طول دو برابر شود مقدار این نیرو یک چهارم خواهد شد.

اگر شعاع چرخش (r) به صورت جذر نسبت ممان اینرسی به مساحت سطح مقطع ستون تعریف شود، رابطه بالا به صورت زیر خلاصه می‌شود (I=A.r2)

 

که L/r همان ضریب لاغری است.

از آنجا که ستون های ساختاری معمولاً از طول متوسط برخوردار هستند، فرمول اویلر برای طراحی معمولی کاربرد کمی دارد. مواردی که باعث انحراف از رفتار خالص اویلری ستون می شود شامل نقص در هندسه ستون در ترکیب با انعطاف پذیری / رفتار کرنش تنشی غیر خطی از مواد ستون است. در نتیجه ، تعدادی فرمول تجربی ستونی ایجاد شده است که با داده های آزمایش ها موافق هستند ، که همه فرمول ها درشان ضریب لاغری وجود دارد. به دلیل عدم اطمینان در رفتار ستون ها ، برای طراحی ، فاکتورهای ایمنی مناسبی در این فرمول ها وجود دارد. یکی از این فرمول ها فرمول پری رابرتسون است که بار بحرانی کمانش را بر اساس یک انحنای اولیه فرض شده کوچک ، برآورد می کند ، از این رو تراکم بار محوری است. فرمول رانکین گوردون (نامگذاری شده ویلیام جان مکورن رنکین و پری هوگزسورث گوردون (1899 - 1966)) نیز براساس نتایج تجربی است و نشان می دهد که یک ستون با بار Fmax دست و پنجه نرم می کند.



Feبیشترین مقدار نیروی اویلری وارد شده و Fc بیشترین نیروی فشاری وارد شده است که این فرمول تخمین مناسبی از Fmaxرا به ما میدهد.

کمانش در صفحهویرایش

صفحه یک سازه 3 بعدی است که از عرض قابل مقایسه با طول آن تعریف شده است و ضخامت آن نسبت به دو بعد دیگر بسیار کوچک است. صفحات نازک ، مشابه ستونها ، دچار تغییرات ناشی از کمانش می شوند زمانی که در معرض بارهای بحرانی قرار بگیرند. با این حال ، برخلاف کمانش ستون ، صفحات تحت بارهای کمانش می توانند بار خود را تحمل کند، به نام کمانش محلی. این پدیده بسیار در سیستم های بی شماری سودمند است، زیرا این امکان را برای مهندسی سیستم فراهم می کند تا ظرفیت بارگذاری بیشتری را ارائه دهد.

برای یک صفحه مستطیل شکل ، پشتیبانی در امتداد هر لبه ، با یک فشار یکنواخت در طول واحد ، بارگذاری شده است:

داریم:[۱]

 ، انحراف خروج هواپیما

 ، فشار یکنواخت فشرده سازی

 ، مدول الاستیسیته

 ، ضریب پواسون

 ، ضخامت

انحراف را می توان به وسیله دو عملگر هارمونیک نشانن داد:[۱]

 

داریم:

 ، تعداد انحنای نیمه سینوسی که در طول آن رخ می دهد

 ، تعداد انحنای نیمه سینوسی که در جهت عرض رخ می دهد

 ، طول نمونه

 ، عرض نمونه

معادله قبلی را می توان جایگزین در معادله دیفرانسیلی که قبل تر در ان   برابر 1 است نمود.   را می توان با ارائه معادله ای برای بار فشاری بحرانی یک صفحه از هم جدا نمود.

 

داریم:

ضریب کمانش تحت تأثیر جنبه نمونه است  / ، و تعداد انحنای طول. برای تعداد فزاینده ای از این گونه انحناها ، نسبت ابعاد ضریب کمانش متغیر را تولید می کند. اما هر رابطه ایجاد شده حداقل مقدار را برای   ایجاد می کند. این مقدار حداقل می تواند بعنوان ثابت ، مستقل از هر دو نسبت ابعاد و  .

با توجه به وجود تنش در سطح منطقه ، استرس بحرانی یافت می شود:

 

از معادلات بدست آمده ، می توان شباهت نزدیک بین استرس بحرانی برای یک ستون و یک صفحه را مشاهده کرد. به عنوان عرض   صفحه کوچکتر می شود ، این صفحه بیشتر مانند یک ستون عمل می کند زیرا مقاومت در برابر خم شدن در طول صفحه را افزایش می دهد. افزایش   امکان افزایش تعداد امواج سینوسی ایجاد شده توسط کمانش در طول را فراهم می کند ، اما همچنین مقاومت در برابر کمانش را در طول عرض افزایش می دهد. این باعث ترجیح صفحه برای کمانش می شود به گونه ای که با تعداد انحنای هم در طول و هم در طول برابر شود. به دلیل شرایط مرزی ، هنگامی که در یک صفحه فشار بحرانی و کمانش بارگذاری می شود ، لبه های عمود بر بار نمی توانند در خارج از هواپیما تغییر شکل دهند و بنابراین به تحمل فشارها ادامه می دهند. این یک بار فشاری غیر یکنواخت در امتداد انتها ایجاد می کند ، که در آن تنش ها بر روی نیمی از عرض موثر در هر طرف نمونه تحمیل می شود ، که در زیر آمده است.

 

داریم:

 ، عرض موثر

 ، تنش تسلیم

با افزایش تنش ، عرض مؤثر همچنان در حال کوچک شدن است. اگر تنش در انتها به تنش تسلیم برسد ، صفحه شکست خواهد خورد. این همان چیزی است که به ساختار قفل شده اجازه می دهد تا از بارگیری پشتیبانی کند. هنگامی که بار محوری بر روی بار بحرانی در برابر جابجایی ترسیم شود ، مسیر اساسی نشان داده می شود. این شباهت صفحه را به یک ستون در زیر کمان نشان می دهد. با این حال ، گذشته از فشار جنجالی ، مسیر بنیادی در یک مسیر ثانویه که به سمت بالا منحنی است ، شکسته می شود و این امکان را فراهم می کند که بارهای بالاتری را از بار بحرانی تحمل کنید.

محاسباتویرایش

کمانش در ستون‌ها پیش از هرچیز به ضریب لاغری ستون «λ» بستگی دارد. ضریب لاغری عبارت است از نسبت طول مهار نشده ستون به شعاع ژیراسیون. در حالت ایدئال که هیچگونه بار جانبی و خروج از محوریت بار وجود نداشته باشد، میزان بار بحرانی یک ستون فولادی از رابطه زیر بدست می‌آید.[۲]

 

در فرمول فوق K ضریب طول مؤثر ستون بوده و براساس شرایط تکیه گاهی در بالا و پایین ستون با مقادیر زیر جایگزین می‌شود.

ستون دوسر گیردار (مقید) ۰٫۵
ستون یک‌سر گیردار یکسر مفصل (مقید) ۰٫۷
ستون دوسر مفصل (مقید) ۱
ستون یک‌سر گیردار یک‌سر آزاد ۲

همچنین در معادله فوق(E)مدول الاستیسیته فولاد مصرفی، (I)ممان اینرسی مقطع و(L)طول مهار نشده ستون می‌باشند.

کمانش خمشی - پیچشیویرایش

می توان این گونه کمانش را به صورت تلفیق پاسخ یک عضو تحت فشار به خمش و پیچش عنوان کرد. در طراحی های صنعتی، این نوع از کمانش را مد نظر قرار می دهند. معمولا این کمانش در ستون های با سطح مقطع باز بیشتر رخ میدهد که در نتیجه باعث می شود مقاومت پیچشی کمی داشته باشند. تیر های با سطح مقطع دایروی هیچگاه تحت این کمانش قرار نمی گیرند.

کمانش افقی - پیچشیویرایش

هنگامی که یک تیر یک سر گیر دار تحت پیچش باشد، قسمت بالایی آن تحت نیروی فشاری و قسمت پایینی آن تحت نیروی کششی قرار می گیرد. اگر تیر در جهت افقی مهار نشده باشد و نیروی پیچشی تا حد بحرانی افزایش یابد، به دلیل کمانش، تیر درجهت افقی خیز پیدا می کند(می خیزد). تیر با سطح مقطع باز نسبت به پیچش انعطاف پذیر تر است، به همین علت کمانش افقی - پیچشی ، تیر را تا حد شکست تحت پیچش و خیز در جهت افقی قرار می دهد. در تیر های I شکل (دارای لبه های پهن و بلند) خیز باعث پیچش می شود، اما در سطح مقطع های لبه باریک، مقاومت خمشی کمتر است که باعث می شود ای حالت مثل حالت خیز - خمش افقی شود.

استفاذه از تیر هایی با سطح مقطع بسته (مثل تیر های قوطی شکل مربعی) به دلیل سختی پیچشی بالای آن ها، باعث کاهش تاثیرات کمانش افقی - پیچشی می شوند.

هنگام محاسبه کمانش افقی - پیچشی،از ضریب تبدیل (   ) استفاده می شود. استفاده از این ضریب به ما امکان بهره گیری از نمودار های گشتاوری غیر یک نواخت را برای تیر های انتها بسته (گیر دار) می دهد. مقدار این ضریب همواره یک یا بیشتر از آن است و برای دانستن آن می توان به جدول های مقاومت مصالح مراجعه کرد یا از فرمول زیر استفاده نمود.

 

که در این فرمول:

  : مقدار قدر مطلقی بیشترین گشتاور در عضو

  : مقدار بیشترین گشتاور در یک چهارم بالایی عضو

  :مقدار بیشترین گشتاور در خط میانی عضو

  :مقدار بیشترین گشتاور در یک چهارم پایینی عضو

کمانش پلاستیکویرایش

هنگامی که مقدار بارگزاری فشاری نزدیک اندازه ی بارگزاری کمانش شود، سازه به طور قابل توجهی خم می شود و رفتار ماده سازنده ستون از حالت خطی تنش-کرنش تفاوت پیدا می کند. رفتار تنشی-کرنشی مواد حتی در نواحی زیر نقطه تسلیم نیز کاملا خطی نیست، به همین دلیل با افزایش تنش، مدول الاستیسیته کاهش پیدا می کند. این باعث کاهش مقاومت کمانش سازه می شود.

لهیدگیویرایش

مقطع هایی که از صفحات لبه دار تشکیل شده اند، پس از کمانش، همچنان قادر به تحمل بارگذاری در گوشه های لبه های خود هستند، اصطلاح لهیدگی به شکست کل مقطع گفته می شود.

منابعویرایش

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Bulson, P. S. (1970). Theory of Flat Plates. Chatto and Windus, London.
  2. Wikipedia, the free encyclopedia →[[[:en:Buckling#Buckling in columns]] Buckling] (بازدید: ۲۲ ژوئن ۲۰۱۰)