گروه گالوا

(تغییرمسیر از گروه های گالوا)

در ریاضیات، بخصوص در شاخه ای از جبر مجرد به نام نظریه گالوا، گروه گالوا برای نوع خاصی از توسیع‌های میدانی تعریف می‌شود. مطالعهٔ توسیع‌های میدانی و روابطشان با چند جمله ای‌هایی که منجر به تولیدشان می‌شود را نظریه گالوا می‌گویند. این اسم به افتخار اواریسته گالوا که ابتدا آن را کشف کرد نامگذاری شده‌است.

تعریفویرایش

فرض کنید   توسیعی از میدان   باشد (به صورت   نوشته شده و به صورت "  بر روی  " خوانده می‌شود). اتومورفیسم   به صورت اتومورفیسم   که   را نقطه وار ثابت نگه می‌دارد تعریف می‌شود. به زبان دیگر، یک اتومورفیسم از   ایزومورفیسمی چون   از   به   است چنان‌که برای تمام  ‌ها داریم  . مجموعه تمام اتومورفیسم‌های   تشکیل گروهی می‌دهند که عمل دوتایی آن ترکیب توابع است. این گروه را برخی مواقع به صورت   می‌نویسند.

اگر   یک توسیع گالوا باشد آنگاه به   گروه گالوای (توسیع)   بر روی   گویند و اغلب آن را با   نمایش می‌دهند.[۱]

اگر   توسیع گالوا نباشد، آنگاه گروه گالوای (توسیع)   روی   را برخی مواقع به صورت   تعریف می‌کنند که در آن   بستار گالوای   می‌باشد.

مثال‌هاویرایش

در مثال‌های پایین   یک میدان است و  ،  ،   به ترتیب میدان اعداد مختلط، حقیقی و گویا هستند. نماد   بیانگر توسیع میدانیست که از الحاق   به میدان   بدست آمده است.

  •   گروه بدیهی تک عضویست، به آن خودریختی همانی گویند.
  •   دو عنصر دارد، خودریختی همانی و خودریختی مزدوج مختلط.[۲]
  •   بدیهیست. می توان نشان داد که هر خود ریختی از   باید ترتیب اعداد حقیقی را حفظ کرده و لذا باید همانی باشد.
  •   یک گروه بی نهایت عضویست.
  •   دو عضو دارد، خودریختی همانی و خودریختی که   و   را با هم تعویض می کند.
  • میدان   را در نظر بگیرید. گروه   تنها شامل خودریختی همانیست. علتش آن است که   یک توسیع نرمال نبوده، لذا چون دو ریشه سوم مختلط 2 در توسیع وجود ندارد،   یک میدان شکافنده نخواهد بود.
  • اکنون   را در نظر بگیرید که در آن   ریشه سوم واحد است. گروه   یک ریخت با   است و   در حقیقت میدان شکافنده ی   بر روی   می باشد.
  • اگر   توانی از عددی اول باشد و   و   به ترتیب میدان‌های گالوا از مرتبه   و   باشند، آنگاه   دوری از مرتبه   بوده و توسط هم‌ریختی فروبنیوس تولید شده است.
  • اگر   یک چندجمله ای تحویل ناپذیر از درجه   با ضرایب گویا باشد و دقیقا دو ریشه غیر حقیقی داشته باشد، آنگاه گروه گالوای   به صورت گروه تقارنی کامل   خواهد بود.

یادداشت‌هاویرایش

  1. برخی از مؤلفان از   به عنوان گروه گالوای توسیع   استفاده کرده و همین نماد را به کار می‌برند، به عنوان مثال Jacobson 2009.
  2. Cooke, Roger L. (2008), Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses, John Wiley & Sons, p. 138, ISBN 9780470277973.

منابعویرایش