یکاهای پلانک

در دانش فیزیک ذرات و در کیهان‌شناسی فیزیکی یکاهای پلانک، یکاهای اندازه‌گیری هستند که منحصراً بر حسب چهار ثابت فیزیکی جهانی تعریف می‌شوند؛ به شکلی که اگر این چهار ثابت فیزیکی را برحسب این یکاها بیان شوند مقدار عددی ۱ خواهند داشت. یکاهای پلانک اهمیت ژرفی در فیزیک نظری دارند زیرا از طریق بدون بعدسازی، چندین عبارت جبری قانون فیزیکی را با ظرافت ساده‌سازی می‌کنند. به‌طور خاص در پژوهش‌های مرتبط با نظریه‌های وحدتی مانند گرانش کوانتومی اهمیت می‌یابند.

این یکاها که نخست در سال ۱۸۹۹ توسط فیزیکدان آلمانی ماکس پلانک پیشنهاد شدند، سیستمی از یکاهای طبیعی هستند، زیرا منشأ تعریف آن‌ها تنها برگرفته از ویژگی‌های طبیعت است و نه از هیچ ساختار انسانی. یکاهای پلانک تنها یکی از چندین سیستم واحدهای طبیعی هستند، اما یکاهای پلانک بر اساس ویژگی‌های هر شی یا ذره نمونه اولیه (که انتخاب آن‌ها ذاتاً به دلخواه است) نیست، بلکه تنها بر پایهٔ ویژگی‌های فضای آزاد است. این یکاها در پژوهش‌ها در مورد یکپارچه‌کردن نظریه‌ها در چند زمینه مانند گرانش کوانتومی مرتبط هستند. (البته زمانی که او واحدهای خود را معرفی کرد، مکانیک کوانتومی هنوز کشف نشده بود)

اصطلاح مقیاس پلانک به مقادیری از فضا، زمان، انرژی و دیگر یکاها اطلاق می‌شود که از نظر بزرگی مشابه یکاهای پلانک هستند. این منطقه ممکن است با انرژی‌های حدود ۷۰۰۹۱۶۰۲۱۷۶۴۸۷۰۰۰۰۰♠۱۰^۱۹ GeV گیگا الکترون‌ولت، فواصل زمانی حدود ۶۹۵۷۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۱۰^−۴۳ ثانیه و طول‌های حدود ۶۹۶۵۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۱۰^−۳۵ متر (به ترتیب معادل انرژی جرم پلانک، زمان پلانک و طول پلانک) مشخص شود.

چهار ثابت فیزیکی جهانی که بر حسب تعریف، مقدار عددی ۱ را در این یکاها بیان می‌کنند عبارتند از:

• سرعت نور در خلاء c
• ثابت گرانش، G،
• ثابت پلانک کاهش یافته، ħ،
• ثابت بولتزمن، کیلوبایت

یکاهای پلانک دارای بعد الکترومغناطیسی را در خود نگنجانده. برخی از نویسندگان ترجیح داده‌اند که دامنهٔ سیستم را به الکترومغناطیس گسترش دهند، برای مثال، ثابت الکتریکی ε_۰ یا ۴πε_۰ را به این لیست اضافه می‌کنند. برخی دیگر از نویسندگان با استفاده از ابعاد سیستم، مقادیر عددی دیگری را بر حسب یک یا چند مورد از چهار ثابت بالا به‌کار می‌برند.

معرفی

به هر سیستم اندازه‌گیری ممکن است مجموعه‌ای از کمیت‌های پایه و واحدهای پایه مرتبط به‌طور مستقل نسبت داده شود که همه کمیت‌ها و واحدهای دیگر را می‌توان از آن استخراج کرد. برای مثال، در سیستم بین‌المللی واحدها ، کمیت‌های پایه SI شامل طول با واحد مربوط به متر است. در سیستم واحدهای پلانک، ممکن است مجموعه مشابهی از کمیت‌های پایه و واحدهای مرتبط انتخاب شود که بر حسب آن مقادیر دیگر و واحدهای منسجم بیان شوند. واحد طول پلانک به طول پلانک و واحد زمان پلانک به زمان پلانک معروف است، اما این نامگذاری به عنوان گسترش به همه کمیت‌ها ایجاد نشده‌است.

همه واحدهای پلانک از ثابت‌های فیزیکی جهانی دارای بعد که سیستم را تعریف می‌کنند مشتق می‌شوند، و در قراردادی که در آن این واحدها حذف می‌شوند (یعنی دارای مقدار بی‌بعد ۱ هستند)، این ثابت‌ها از معادلات فیزیک که در آن ظاهر می‌شوند، حذف می‌شوند. به عنوان مثال، قانون گرانش جهانی نیوتن،

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},$

را می توان به صورت زیر بیان کرد:

${\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.$

هر دو معادله از نظر ابعادی سازگار هستند و در هر سیستم کمیت به یک اندازه معتبر هستند، اما معادله دوم، با وجود G وجود ندارد، فقط کمیت‌های بدون بعد را مرتبط می‌کند، زیرا هر نسبتی از دو کمیت هم‌بعد، کمیتی بدون بعد است. اگر بر اساس یک قرارداد کوتاه نویسی، درک شود که هر کمیت فیزیکی، نسبت متناظر با یک واحد پلانک منسجم است (یا "بیان شده در واحدهای پلانک" است)، نسبت‌های بالا ممکن است به سادگی با نمادهای کمیت فیزیکی بیان شوند، بدون اینکه توسط واحد مربوطه خود اندازه‌گیری شوند:

$F'={\frac {m_{1}'m_{2}'}{r'^{2}}}.$

این آخرین معادله (بدون G ) با F ′ ، m ₁ "، m ₂ " و r ′ که کمیت‌های نسبت بی بعد متناظر هستند معتبر است. به مقادیر استاندارد، به عنوان مثال نوشته شده است: F′ ≘ F or F′ = F/F_P, ولی نه به عنوان یک تساوی مستقیم بین کمیت‌ها. اگر مطابقت کمیت‌ها به عنوان برابری در نظر گرفته شود، ممکن است به نظر برسد که "ثابت‌های c ، G و ... را ۱ در نظر می‌گیریم". به همین دلیل پلانک یا سایر واحدهای طبیعی باید با دقت به کار گرفته شوند. پل اس. وسون با اشاره به " G = c = 1 " نوشت که "از نظر ریاضی این ترفند قابل قبولی است که باعث صرفه جویی در کار می شود. از نظر فیزیکی نشان دهنده از دست دادن اطلاعات است و می‌تواند منجر به سردرگمی شود."

تاریخچه و تعریف

مفهوم واحدهای طبیعی در سال ۱۸۷۴ معرفی شد، زمانی که جورج جانستون استونی که به اینکه بار الکتریکی کوانتیزه شده است، اشاره کرد. واحدهای مشتق شده از طول، زمان و جرم، اکنون به افتخار او واحدهای استونی نامیده می‌شود. استونی واحدهای خود را طوری انتخاب کرد که G و c و بار الکترون e از نظر عددی برابر با ۱ باشند. در سال ۱۸۹۹، یک سال قبل از ظهور نظریه کوانتومی، ماکس پلانک چیزی را معرفی کرد که بعدها به عنوان ثابت پلانک شناخته شد. در پایان مقاله، او واحدهای پایه‌ای را پیشنهاد کرد که بعداً به افتخار او نامگذاری شدند. واحدهای پلانک بر پایه کوانتوم کنش هستند که امروزه به عنوان ثابت پلانک شناخته می‌شود که در تقریب وین برای تشعشعات جسم سیاه ظاهر می‌شود. پلانک بر جهانی بودن دستگاه واحد جدید تأکید کرد و نوشت:

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen notwendig behalten und welche daher als »natürliche Maßeinheiten« bezeichnet werden können.

... می‌توان واحدهایی برای طول، جرم، زمان و دما تنظیم کرد که مستقل از اجسام یا مواد خاص هستند و لزوماً معنای خود را برای همه زمان‌ها و برای همه تمدن‌ها، اعم از فرازمینی و غیرانسانی حفظ می کنند، که می‌تواند "واحدهای اندازه گیری طبیعی" نامیده می‌شود.

پلانک تنها واحدهای مبتنی بر ثابت‌های جهانی را در نظر گرفت $G$ ، $h$ ، $c$ ، و $k_{\rm {B}}$ برای رسیدن به واحدهای طبیعی برای طول, زمان, جرم و دما . تعاریف او با تعاریف امروزی در عامل ${\sqrt {2\pi }}$ تفاوت دارد، زیرا در تعاریف مدرن از $\hbar$ به جای $h$ استفاده می‌کنند.

جدول ۱: مقادیر امروزی برای کمیت‌های انتخابی اولیه پلانک

نام	بعد	تعریف	مقدار (واحد SI )
طول پلانک	طول (L)	$l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$
جرم پلانک	جرم (M)	$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$
زمان پلانک	زمان (T)	$t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$
دمای پلانک	دما (Θ)	$T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}$

برخلاف مورد دستگاه بین‌المللی یکاها، هیچ نهاد رسمی وجود ندارد که تعریفی از سیستم واحد پلانک ارائه دهد. برخی از نویسندگان واحدهای پایه پلانک را واحدهای جرم، طول و زمان تعریف می‌کنند، با توجه به اینکه یک واحد اضافی برای دما اضافی است. جدول‌های دیگر، علاوه بر یک واحد دما، یک واحد برای بار الکتریکی اضافه می‌کنند، به طوری که ثابت کولن $k_{e}$ یا گذردهی خلاء $\epsilon _{0}$ به ۱ ساده شده است. بنابراین، بسته به انتخاب نویسنده، این واحد بار الکتریکی به اشکال زیر انتخاب می‌شوند:

$q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\approx 1.875546\times 10^{-18}{\text{ C}}\approx 11.7\ e$

برای $k_{\text{e}}=1$ ، یا

$q_{\text{P}}={\sqrt {\epsilon _{0}\hbar c}}\approx 5.290818\times 10^{-19}{\text{ C}}\approx 3.3\ e.$

برای $\varepsilon _{0}=1$ . برخی از این جدول‌ها نیز هنگام انجام این کار، جرم را با انرژی جایگزین می‌کنند.

بار پلانک و همچنین واحدهای الکترومغناطیسی دیگری که می‌توان آنها را مانند مقاومت و شار مغناطیسی تعریف کرد، نسبت به واحدهای اصلی پلانک دشوارتر است و کمتر مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در واحدهای SI، مقادیر c ، h ، e و kB دقیق هستند و مقادیر ε ₀ و G در واحدهای SI به ترتیب دارای عدم قطعیت نسبی ۶۹۸۸۴۹۱۸۹۹۳۲۳۱۶۶۶۶۶♠۸٫۸۵۴۱۸۷۸۱۷٫٫٫×۱۰^−۱۲ F/m و ۶۹۸۹۶۶۷۳۸۴۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۶٫۶۷۳۸۴(۸۰)×۱۰^−۱۱ m^۳ kg^−۱ s^−۲ هستند. از این رو، عدم قطعیت در مقادیر SI واحدهای پلانک تقریباً به طور کامل از عدم قطعیت در مقدار G در دستگاه بین‌المللی یکاها ناشی می‌شود.

یکاهای مشتق شده

در هر دستگاه اندازه‌گیری، واحدهای بسیاری از کمیت‌های فیزیکی را می‌توان از یکاهای پایه استخراج کرد. جدول ۲ نمونه‌ای از یکاهای پلانک مشتق شده را ارائه می‌دهد که برخی از آنها به ندرت استفاده می‌شوند. همانند یکاهای پایه، استفاده از آنها بیشتر به فیزیک نظری محدود می‌شود، زیرا اکثر آنها برای استفاده تجربی یا عملی بسیار بزرگ یا کوچک هستند و عدم قطعیت‌های زیادی در مقادیر آنها وجود دارد.

جدول ۲: واحدهای رایج مشتق شده از واحدهای پلانک

یکا مشتق شده	تعریف	معادل SI تقریبی
مساحت (L2)	$l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	۶۹۳۰۲۶۱۲۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۲٫۶۱۲۱×۱۰−۷۰ m۲
حجم (L3)	$l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}$	۶۸۹۵۴۲۲۱۷۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۴٫۲۲۱۷×۱۰−۱۰۵ m۳
تکانه (LMT -1)	$m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	۷۰۰۰۶۵۲۴۹۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۶٫۵۲۴۹ kg⋅m/s
انرژی (L2 MT -2)	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	۷۰۰۹۱۹۵۶۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۱٫۹۵۶۱×۱۰۹ J
نیرو (LMT -2)	$F_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	۷۰۴۴۱۲۱۰۳۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۱٫۲۱۰۳×۱۰۴۴ N
چگالی (L -3 M)	$\rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	۷۰۹۶۵۱۵۵۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۵٫۱۵۵۰×۱۰۹۶ kg/m۳
شتاب (LT -2)	$a_{\text{P}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}$	۷۰۵۱۵۵۶۰۸۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۵٫۵۶۰۸×۱۰۵۱ m/s۲

برخی از یکاهای پلانک، مانند زمان و طول، از مرتبه‌های بسیار بزرگ یا بسیار کوچک هستند که نمی‌توانند کاربرد عملی داشته باشند، به طوری که یکاهای پلانک به عنوان یک دستگاه معمولاً فقط به فیزیک نظری مربوط می‌شوند. در برخی موارد، یکای پلانک ممکن است محدودیتی را برای دامنه کمیت فیزیکی که نظریه‌های فعلی فیزیک اعمال می‌شود، پیشنهاد کند. به عنوان مثال، درک ما از مه‌بانگ به دوره پلانک، یعنی زمانی که جهان کمتر از یک زمان پلانک بود، گسترش نمی‌یابد. توصیف جهان در دوران پلانک مستلزم نظریه گرانش کوانتومی است که اثرات کوانتومی را در نسبیت عام وارد کند. چنین نظریه ای هنوز وجود ندارد.

چندین مقدار از نظر قدر «افراطی» نیستند، مانند جرم پلانک، که حدود ۲۲ میکروگرم است: در مقایسه با ذرات زیر اتمی، و در محدوده جرم موجودات زنده بسیار بزرگ است. به طور مشابه، یکاهای انرژی و تکانه مرتبط در محدوده برخی از پدیده‌های روزمره هستند.

اهمیت

یکاهای پلانک دلبخواهی انسان محوری کمی دارند، اما همچنان شامل برخی از انتخاب های دلخواه از نظر مزیت‌های تعیین‌کننده هستند. برخلاف متر و ثانیه که به دلایل تاریخی به عنوان واحدهای پایه در دستگاه SI وجود دارند، طول پلانک و زمان پلانک از نظر مفهومی در یک سطح فیزیکی اساسی به هم مرتبط هستند. در نتیجه، یکاهای طبیعی به فیزیکدانان کمک می‌کنند تا سؤالات را دوباره مطرح کنند. فرانک ویلچک آن را به اختصار بیان می کند:

We see that the question [posed] is not, "Why is gravity so feeble?" but rather, "Why is the proton's mass so small?" For in natural (Planck) units, the strength of gravity simply is what it is, a primary quantity, while the proton's mass is the tiny number [1/(13 [[Names of large numbers|quintillion]])].

در حالی که درست است که نیروی دافعه الکترواستاتیکی بین دو پروتون (به تنهایی در فضای آزاد) بسیار بیشتر از نیروی جاذبه گرانشی بین همان دو پروتون است، اما این در مورد قدرت نسبی دو نیروی اساسی نیست. از دیدگاه یکاهای پلانک، این مقایسه سیب با پرتقال است، زیرا جرم و بار الکتریکی مقادیر غیر قابل قیاس هستند. در عوض، نابرابری نسبت نیرو نشان‌دهنده این واقعیت است که بار پروتون‌ها تقریباً هم‌اندازه بار پلانک است اما جرم پروتون‌ها به مراتب کمتر از یکای جرم پلانک است.

معادلات بدون بعد کردن

کمیت‌های فیزیکی که ابعاد متفاوتی دارند (مانند زمان و طول) را نمی‌توان حتی اگر از نظر عددی مساوی باشند (مثلاً ۱ ثانیه با ۱ متر یکی نیست) معادل سازی کرد. با این حال، در فیزیک نظری، این مشکل ممکن است با فرایندی به نام بدون بعد کردن حل شود. نتیجه مؤثر این است که بسیاری از معادلات بنیادی فیزیک، که اغلب شامل برخی از ثابت‌های مورد استفاده برای تعریف واحدهای پلانک می‌شوند، به معادلاتی تبدیل می‌شوند که در آن این ثابت‌ها با عدد یک جایگزین می‌شوند.

برای مثال می توان به رابطه انرژی – تکانه اشاره کرد $\ E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}$ ، که می شود $E^{2}=m^{2}+p^{2}$ و معادله دیراک $\ (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0$ ، که می شود $\ (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$ .

جستارهای وابسته

• تحلیل ابعادی
• نسبیت خاص دوگانه
• یکاهای پلانک
• ذره پلانک
• انرژی نقطه صفر
• cGh physics