ارتعاش آزاد سیستم‌های چند درجه آزادی

ارتعاش آزاد، به ارتعاشی بدون هرگونه تحریک دینامیکی (نظیر نیروهای دینامیکی خارجی و یا حرکت پایه) اطلاق می گردد.ارتعاش آزاد با برهم زدن وضعیت متعادل سازه به وسیله اعمال تغییر شکل یا سرعت اولیه، آغاز می شود.

این مبحث که اختصاص به ارتعاش آزاد سازه های چند درجه آزادی دارد،در قسمت اول، مودها و فرکانس های طبیعی ارتعاش سازه بسط داده می شود. این مفهوم نقش محوری در تحلیل دینامیکی و لرزه ای سیستم های خطی ایفا می کند.

در قسمت دوم، مفاهیم قسمت اول برای تعیین پاسخ ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی به کار گرفته می شود. ابتدا سیستم های نامیرا مورد تحلیل قرار می گیرند. سپس بحثی در مورد اختلاف پاسخ ارتعاش آزاد سیستم ها با میرایی کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می گردد. سپس با علم به اینکه سیستم های میرا و نامیرا دارای مودهای ارتعاشی یکسانی می باشند، روشهای تحلیلی به سیستم های میرا بسط داده می شود.

قسمت اول: مودها و فرکانس های طبیعی ارتعاش

سیستم های بدون میرایی

معادله حاکم بر ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی با p(t)=0 می باشد که برای سیستم های بدون میرایی به صورت زیر در می آید:

$m{\ddot {u}}+ku=0$

این معادله، N معادله دیفرانسیل همگن را نشان می دهد که از طریق ماتریس جرم یا ماتریس سختی، و یا هر دو ماتریس به یکدیگر همبسته هستند. N تعداد درجات آزادی است. می خواهیم حل u(t) رابطه بالا را طوری به دست آوریم که شرایط اولیه زیر را در زمان t=0 اقناع نماید:

${\dot {u}}={\dot {u}}(0),u=u(0)$

روش عمومی حل سیستم های چند درجه آزادی در ادامه ارائه خواهد شد.

زمان تناوب طبیعی ${{T}_{n}}$ ، مدت زمان لازم برای انجام یک دور کامل از ارتعاش هارمونیک ساده هریک از مودهای طبیعی است. فرکانس زاویه ای طییعی ${{\omega }_{n}}$  و فرکانس دوره ای طبیعی ${{f}_{n}}$  نیز به صورت زیر تعریف می شوند:

${{T}_{n}}={\frac {2\pi }{{\omega }_{n}}},{{f}_{n}}={\frac {1}{{T}_{n}}}$

فرکانس ها و مودهای طبیعی ارتعاش

در این بخش، مسئله مقادیر ویژه که حل آنها منجر به تعیین مودها و فرکانس های طبیعی ارتعاش می گردد، مورد بحث قرار می گیرد. ارتعاش آزاد یک سیستم چند درجه آزادی نامیرا در هریک از مودهای ارتعاشی آن به زیان ریاضی به شکل زیر قابل بیان است:

$u(t)={{q}_{n}}(t){{\phi }_{n}}$

در رابطه فوق  ${{\phi }_{n}}$ تابع شکل مودn ام بوده و منحنی تغیرشکل آن مود را نشان می دهد و تابع زمان نیست.  ${{q}_{n}}(t)$ را مختصه زمانی و یا به طور خلاصه، مختصه مودn ام گویند که تابع زمان است. تغییرات زمانی تغیبرشکل، يا مختصه مودی، با تابع هارمونیک ساده زیر تعریف می گردد؛

${{q}_{n}}(t)={{A}_{n}}\cos {{\omega }_{n}}t+{{B}_{n}}\sin {{\omega }_{n}}t$

در رابطه فوق، ${{A}_{n}}$ و ${{B}_{n}}$ثابت های انتگرال گیری می باشند که از شرایط اولیه قابل تعیین هستند. با ترکیب روابط بالا به دست می آید:

$u(t)={{\phi }_{n}}({{A}_{n}}\cos {{\omega }_{n}}t+{{B}_{n}}\sin {{\omega }_{n}}t)$

که در آن  ${{\omega }_{n}}$ و ${{\phi }_{n}}$ مجهول می باشند.

با قرار دادن u(t) از رابطه بالا نتیجه می شود:

$\left[-\omega _{n}^{2}m{{\phi }_{n}}+k{{\phi }_{n}}\right]{{q}_{n}}(t)=0$

رابطه فوق در دو حالت اقناع می شود:(الف) حالت${{q}_{n}}(t)=0$  که دلالت بر u(t)=0 دارد و بدین معناست که هیچ گونه ارتعاشی در سیستم وجود ندارد .(ب) حالتی که عبارت داخل پرانتز مساوی صفر است که منجر به معادله جبری زیر می گردد:

$k{{\phi }_{n}}=\omega _{n}^{2}m{{\phi }_{n}}$

از رابطه فوق، نتایج مفیدی حاصل می گردد. مسئله جبری پیش آمده، مسئله مقادیر ویژه ماتریسی نامیده می شود. گاهی مواقع پسوند حقیقی نیز ممکن است به آن اضافه گردد تا از مسئله مقادیر ویژه مختلط  تمیز داده شود. حالت اخیر مربوط به سازه های میرا می باشد ماتریس های سختی k و جرم m معلوم هستند و مجهول مسئله تعیین اسکالر$\omega _{n}^{2}$ و بردار${{\phi }_{n}}$ می باشد. برای شباهت دادن به حل کلاسیک رابطه بالا به شکل زیر نوشته می شود:

$\left[k-\omega _{n}^{2}m\right]{{\phi }_{n}}=0$

معادله فوق را میتوان به صورت N معادله جبری همگن برای تعیین N مقدار ${{\phi }_{jn}}$ (j=1,2,…,N) تفسیر نمود. این سری همواره دارای حل مبتذل(trivial solution) ${{\phi }_{n}}=0$ می باشد که حل مفیدی نیست و به معنای عدم وجود ارتعاش است. حل غير مبتذل معادله فوق به صورت زیر در می آید:

$\det \left[k-\omega _{n}^{2}m\right]=0$

در صورت بسط دترمینان، یک چند جمله ای از درجه N  بر حسب $\omega _{n}^{2}$ به دست می آید. معادله بالا، به معادله مشخصه یا معادله فرکانس معروف است. این معادله دارای N ریشه حقیقی و مثبت برای $\omega _{n}^{2}$ می باشد، زیرا ماتریسهای m و k که ماتریسهای سختی و جرم سازه هستند، متقارن و معین مثبت (Positive definite) هستند .برای سازه ها با شرایط تکیه گاهی پایدار که امکان حرکت صلب برای آنها ممکن نیست،ماتریس k معین مثبت است. این شرط همواره در سازه های مربوط به مهندسی عمران برقرار است، لیکن در سازه هایی مثل هواپیماها که در هوا در حال حرکت می باشند، صادق نیست. موضوع اخیر خارج از بحث این کتاب است. در طرف دیگر با حذف درجات آزادی بدون جرم متمرکز به روش تراکم استاتیکی ، از معین مثبت بودن ماتریس جرم m نیز اطمینان کافی وجود دارد.

N ريشه معادله بالا،N   فرکانس طبیعی ${{\omega }_{n}}$ (n=1,2,…,N)ارتعاش را تعیین می کند. این ریشه های معادله مشخصه، به مقادیر نرمال، مقادیر مشخصه، و یا مقادیر ویژه  معروف هستند. وقتی که فرکانس طبیعی ${{\omega }_{n}}$ معلوم باشد معادله را می توان برای بردار نظیر ${{\phi }_{n}}$ حل نمود. مسئله مقادیر ویژه منجر به تعیین مقدار ثابتی برای دامنه مطلق  بردار ${{\phi }_{n}}$نمی شود و فقط شکل بردار توسط مقادیر نسبی N  تغییر مکان ${{\phi }_{jn}}$ ( j=1,2,…,N)تعیین می گردد. برای هر یک از N  فرکانس طبیعی ${{\omega }_{n}}$یک سیستم N درجه آزادی، یک بردار مستقل ${{\phi }_{n}}$ وجود دارد که نشان دهنده شکل ارتعاشی آن مود بوده و بردار مود طبیعی ارتعاش یا شکل مود طبیعی ارتعاش نامیده می شود. در نتیجه برای یک سیستم N درجه آزادی،N بردار شکل مود${{\phi }_{n}}$ وجود خواهد داشت. این بردارها را ،بردارهای ویژه، بردارهای مشخصه و یا بردارهای مودهای نرمال  نیز می گویند.

به طور خلاصه یک سیستم مرتعش N درجه آزادی، دارای N فرکانس طبیعی( n=1,2,…,N )${{\omega }_{n}}$می باشد

که ترتیب ${{\omega }_{N}}$> ... >${{\omega }_{2}}$>${{\omega }_{1}}$ برای آنها برقرار است. نظیر هر فرکانس ${{\omega }_{n}}$، یک زمان تناوب طبیعی${{T}_{n}}$ و یک بردار مود طبیعی${{\phi }_{n}}$وجود دارد. به کار بردن صفت طبیعی، برای سه کمیت فوق ،تأکید بر این نکته است که این کمیات مربوط به ارتعاش آزاد سیستم می باشند و مقدار آنها فقط بستگی به خواص جرم و سختی سازه دارد که از کمیات ذاتی سازه هستند. زیرنویس n  نشان دهنده شماره مود می باشد و مود اول n=1، مود اصلی  نیز نامیده می شود.

ماتریسهای مودی و طیفی

N مقدار ویژه، N فرکانسهای طبیعی و N بردار مود طبیعی را می توان در ماتریس هایی جاسازی نمود. بردار مود طبیعی یا بردار ویژه${{\phi }_{n}}$را که متناظر با فرکانس طبیعی ${{\omega }_{n}}$ بوده و دارای n عنصر ${{\phi }_{jn}}$ می باشد (j شماره درجات آزادی را می رساند) در نظر بگیرید . N بردار ویژه را می توان در یک ماتریس مربع جا داد که هر ستون آن یک مود طبیعی است:

$\Phi =\left[{{\phi }_{jn}}\right]=\left[{\begin{matrix}{{\phi }_{11}}&{{\phi }_{12}}&...&{{\phi }_{1N}}\\{{\phi }_{21}}&{{\phi }_{22}}&...&{{\phi }_{2N}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{{\phi }_{N1}}&{{\phi }_{N2}}&...&{{\phi }_{NN}}\\\end{matrix}}\right]$

در مسائل مقادیر ویژه ،ماتریس $\Phi$ ، ماتریس مودی خوانده می شود (رابطه بالا). به علاوه N مقدار ویژه $\omega _{n}^{2}$را می توان در یک ماتریس قطری Ω جاسازی نمود که ماتریس طیفی نامیده می شود .

${{\Omega }^{2}}=\left[{\begin{matrix}\omega _{1}^{2}&{}&{}&{}\\{}&\omega _{2}^{2}&{}&{}\\{}&{}&\ddots &{}\\{}&{}&{}&\omega _{N}^{2}\\\end{matrix}}\right]$

هر مقدار ویژه و بردار ویژه ،رابطه بالا را اقناع می کند. معادله مذکور را می توان به صورت زیر  مرتب نمود:

$k{{\phi }_{n}}=m{{\phi }_{n}}\omega _{n}^{2}$

با استفاده از ماتریس های مودی و طیفی ؛می توان رابطه بالا را در شکل جامع تری به صورت  ماتریسی نوشت:

$k\Phi =m\Phi {{\Omega }^{2}}$

رابطه بالا یک شکل فشرده از رابطه بین تمام مقادیر ویژه و تمام بردارهای ویژه است.

تعامد مودها

می توان نشان داد که مودهای طبیعی نظیر فرکانس های طبیعی مختلف ،شرایط تعامد زیر را برآورده می کنند. وقتی که ${{\omega }_{n}}\neq {{\omega }_{r}}$ باشد، می توان نوشت:

$\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}=0,\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{r}}=0$

خواص تعامد فوق را می توان به صورت زیر اثبات نمود. nامین فرکانس طبیعی و شکل مود مربوطه، رابطه بالا  را اقناع می نمایند. حال اگر این رابطه در $\phi _{r}^{T}$ پیش ضرب می گردد:

$\phi _{r}^{T}k{{\phi }_{n}}=\omega _{n}^{2}\phi _{r}^{T}m{{\phi }_{n}}$

به طور مشابه، rامین فرکانس طبیعی و شکل مود مربوطه رابطه، بالا را اقناع می نماید. یعنی$k{{\phi }_{r}}=\omega _{r}^{2}m{{\phi }_{r}}$ می باشد. اگر این رابطه در $\phi _{n}^{T}$ پیش ضرب گردد، به دست می آید:

$\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{r}}=\omega _{r}^{2}\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}$

بنابراین:

$\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{r}}=\omega _{n}^{2}\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}$

در حصول رابطه فوق از خواص تقارن ماتریس های جرم و سختی استفاده شده است. اگر دو معادله فوق از هم کم گردد، نتیجه می شود:

$\left(\omega _{n}^{2}-\omega _{r}^{2}\right)\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}=0$

پس اگر $\omega _{n}^{2}\neq \omega _{r}^{2}$ باشد، طبق رابطه فوق ،معادله اول سمت راست  اثبات می شود. برای سیستم ها با فرکانس های طبیعی مثبت ، $\omega _{n}^{2}\neq \omega _{r}^{2}$ دلالت بر ${{\omega }_{n}}\neq {{\omega }_{r}}$ دارد. با قرار دادن رابطه اول سمت راست در رابطه بالایی، رابطه سمت چپ اول برای${{\omega }_{n}}\neq {{\omega }_{r}}$ ، اثبات می گردد.

بنابراین اثبات روابط تعامد به اتمام می رسد.

رابطه تعامد بين مودها با فرکانس های متفاوت( به عبارت دیگر${{\omega }_{n}}\neq {{\omega }_{r}}$ )، برقرار گردید.

تعامد مودهای طبیعی ایجاب می کند که ماتریس های مربع زیر قطری باشند:

$M={{\Phi }^{T}}k\Phi ,K\equiv {{\Phi }^{T}}k\Phi$

که در آن عناصر قطری برابرند با:

${{M}_{n}}=\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}},{{K}_{n}}=\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{n}}$

چون m و k معین مثبت هستند ،عناصر قطری Kو M نیز مثبت خواهند بود. این دو ماتریس طبق رابطه زیر به هم مربوط هستند:

${{K}_{n}}=\omega _{n}^{2}{{M}_{n}}$

صحت رابطه فوق را می توان با استفاده از تعاریف ماتریس های ${{K}_{n}}$ و${{M}_{n}}$ به صورت زیر نشان داد. با جایگذاری به دست می آید:

${{K}_{n}}=\phi _{n}^{T}\left(\omega _{n}^{2}m{{\phi }_{n}}\right)=\omega _{n}^{2}\left(\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}}\right)=\omega _{n}^{2}{{M}_{n}}$

تفسیر تعامد مودها

در این قسمت مفهوم فیزیکی خاصیت تعامد مودها مورد بحث قرار می گیرد. یک نتیجه از تعامد مودها این است که کار انجام شده توسط نیروهای اینرسی مود nام به علت تغییر مکان های مود rام، مساوی صفر است. برای نشان دادن این نتیجه سازه ای را در نظر بگیرید که در مورد nام با تغییر مکان های زیر در حال ارتعاش است:

${{u}_{n}}(t)={{q}_{n}}(t){{\phi }_{n}}$

شتاب نظیر تغییر مکانهای فوق مساوی ${{\ddot {u}}_{n}}(t)={{\ddot {q}}_{n}}(t){{\phi }_{n}}$ و نیروهای اینرسی نظیر آن برابر است با:

${{\left({{f}_{I}}\right)}_{n}}=-m{{\ddot {u}}_{n}}(t)=-m{{\phi }_{n}}{{\ddot {q}}_{n}}(t)$

حال تغییر مکان های سازه در مود طبیعیr ام مورد توجه قرار می گیرد:

${{u}_{r}}(t)={{q}_{r}}(t){{\phi }_{r}}$

کار انجام شده توسط نیروهای اینرسی به علت تغییر مکان های رابطه بالا برابر است با:

${{\left({{f}_{I}}\right)}_{n}}^{T}{{u}_{r}}=-\left(\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}\right){{\ddot {q}}_{n}}(t){{q}_{r}}(t)$

با توجه به معادله تعامد دست راست ، عبارت فوق مساوی صفر است.

بدین ترتیب اثبات رابطه به انجام می رسد.

تفسیر دیگر از خاصیت تعامد مودها بدین قرار است که کار انجام شده توسط نیروهای استاتیکی نظیر تغییر مکان های مود n ام به علت تغییر مکان های مودr ام مساوی صفر است. نیروهای معادل استاتیکی برابرند با:

${{\left({{f}_{S}}\right)}_{n}}=k{{u}_{n}}(t)=k{{\phi }_{n}}{{q}_{n}}(t)$

کار انجام شده توسط نیروهای فوق به علت تغییر مکان رابطه بالا برابر است با:

$\left({{f}_{S}}\right)_{n}^{T}{{u}_{r}}=\left(\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{r}}\right){{q}_{n}}(t){{q}_{r}}(t)$

به علت معادله تعامد سمت چپ ،، مقدار فوق مساوی صفر است.

همپایه کردن مودها

همان طور که در قبل ذکر شد ،مسئله مقادیر ویژه ،مقادیر نسبی مودهای طبیعی را به دست می دهد و مقادير مطلق شكل مودها قابل تعیین نیست اگر بردار${{\phi }_{n}}$ یک مود طبیعی باشد، هر بردار متناسب با${{\phi }_{n}}$ نیز رابطه $k{{\phi }_{n}}=m{{\phi }_{n}}\omega _{n}^{2}$را اقناع نموده و در نتیجه همان مود طبیعی خواهد بود. با توجه به این حقیقت، غالباً در یک مود ارتعاشی، مقدار یکی از عناصر بردار${{\phi }_{n}}$ مساوی واحد انتخاب شده، و باقی عناصر با آن متناسب می گردد به این عمل همپایه کردن ( نرمال کردن ) می گویند.

برای همپایه کردن، اغلب بزرگترین عنصر یک بردار مود را مساوی واحد در نظر می گیرند و باقی عناصر را بر حسب آن تعیین می نمایند. گاهی مواقع عنصر متعلق به یک درجه آزادی خاص مثلاً تغییر مکان بام واحد اختیار می گردد در بحث های نظری و برنامه های کامپیوتری، همپایه کردن مودها طوری انجام می شود که مقدار مساوی واحد گردد. در این حالت داریم:

${{\Phi }^{T}}m\Phi =I,{{M}_{n}}=\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}}=1$

که در آن I ماتریس یکه، یعنی ماتریسی قطری که تمام عناصر قطری آن مساوی واحد است می باشد. رابطه بالا هم خاصیت تعامد مودها را نشان می دهد و هم بدین معناست که نسبت به m همپایه شده است. در این حالت به آنها یک مجموعه ارتونرمال ( متعامدهمپایه شده) گویند. وقتی که مودها به این روش همپایه شوند روابط به صورت زیر در می آیند:

$K={{\Phi }^{T}}k\Phi ={{\Omega }^{2}},{{K}_{n}}=\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{n}}=\omega _{n}^{2}{{M}_{n}}=\omega _{n}^{2}$

تجزیه یک تغییر شکل دلخواه به اشکال مودی ( انبساط مودی تغییر شکل )

هر بردار از مرتبه N را می توان به صورت ترکیبی از چند بردار مستقل از مرتبه N نوشت. در این قسمت هدف این است که هر بردار تغییر مکان دلخواه u  را به صورت ترکیبی از بردار مودی بنویسیم. برای این کار داریم:

$u=\sum \limits _{r=1}^{N}{{{\phi }_{r}}{{q}_{r}}}=\Phi q$

که در آن ${{q}_{r}}$ یک ضریب اسکالر می باشد که مختصه های مودی یا مختصه های همپایه نامیده می شوند. با پیش ضرب دو طرف معادله فوق در $\phi _{n}^{T}m$ به دست می آید:

$\phi _{n}^{T}mu=\sum \limits _{r=1}^{N}{(\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}}){{q}_{r}}$

با استفاده از رابطه تعامد ، تمام جملات رابطه فوق به استثنای حالتی که r = n می باشند ،حذف می شوند:

$(\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}}){{q}_{n}}$=$\phi _{n}^{T}mu$

که از آن می توان نوشت:

${{q}_{n}}={\frac {\phi _{n}^{T}mu}{\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}}}}={\frac {\phi _{n}^{T}mu}{{M}_{n}}}$

از تکنیک فوق برای حصول حل ارتعاش آزاد سیستمهای نامیرا استفاده می شود. این تکنیک نقش محوری در تحلیل سیستمهای تحت تأثیر نیروهای خارجی و زلزله دارد.

قسمت دوم: پاسخ ارتعاش آزاد

حل معادلات ارتعاش آزاد سیستم های نامیرا

حال مجدداً به مسئله مطرح شده بر می گردیم و حل آن را تعیین می کنیم. معادله دیفرانسیلی که باید حل گردد $m{\ddot {u}}+ku=0$ ، منجر به مسئله مقادیر ویژه شده است. با این فرض که مسئله مقادیر ویژه برای فرکانس ها و مودهای طبیعی حل شده، حل عمومی از جمع آثار پاسخ مودهای مجزا به دست می آید:

$u(t)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}({{A}_{n}}\cos {{\omega }_{n}}t+{{B}_{n}}\sin {{\omega }_{n}}t)}$

ضرایب ${{A}_{n}}$ و${{B}_{n}}$ و$2N$ ثابت انتگرال گیری می باشند برای تعیین این ثابت ها، باید روابط بردار سرعت نیز معلوم باشند، داریم:

${\dot {u}}(t)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{\omega }_{n}}(-{{A}_{n}}\sin {{\omega }_{n}}t+{{B}_{n}}\cos {{\omega }_{n}}t)}$

با قرار دادن t = 0  در روابط بالا به دست می آید:

${\dot {u}}(0)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{\omega }_{n}}{{B}_{n}}},u(0)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{A}_{n}}}$

با تغییر مکانهای اولیه$u(0)$و سرعتهای اولیه ${\dot {u}}(0)$ معلوم ،هر یک از دو معادله فوق، N معادله جبری برای تعیین ثابتهای ${{A}_{n}}$ و${{B}_{n}}$ به دست می دهد. حل همزمان این معادلات لازم نیست، زیرا آنها را می توان به صورت تجزیه مودی بردارهای$u(0)$ و${\dot {u}}(0)$ تفسیر نمود.

می توان نوشت:

${\dot {u}}(0)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{\dot {q}}_{n}}}(0),u(0)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{q}_{n}}}(0)$

با تشبیه به رابطه بالا،${{q}_{n}(0)}$ و ${{\dot {q}}_{n}}(0)$ از روابط زیر تعیین میگردند:

${{\dot {q}}_{n}}(0)={\frac {\phi _{n}^{T}m{\dot {u}}(0)}{{M}_{n}}},{{q}_{n}}(0)={\frac {\phi _{n}^{T}mu(0)}{{M}_{n}}}$

از آنها می توان نتیجه گیری نمود:

${{B}_{n}}={\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)}{{\omega }_{n}}},{{A}_{n}}={{q}_{n}}(0)$

با قرار دادن این مقادیر ،به دست می آید:

$u(t)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}({{q}_{n}}(0)\cos {{\omega }_{n}}t+{\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)}{{\omega }_{n}}}\sin {{\omega }_{n}}t)}$

یا به عبارت دیگر:

$u(t)={{\phi }_{n}}{{q}_{n}}(t)$

که در آن:

${{q}_{n}}(t)={{q}_{n}}(0)\cos {{\omega }_{n}}t+{\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)}{{\omega }_{n}}}\sin {{\omega }_{n}}t$

معادلات فوق تغییرات زمانی مختصه های مودی هستند که مشابه پاسخ ارتعاش آزاد سیستم های یک درجه آزادی می باشند رابطهu(t) حل مسئله ارتعاش آزاد است. این رابطه تغییر مکان u را به صورت تابعی از زمان به علت تغییر مکان اولیه u(0)  و سرعت اولی${\dot {u}}(0)$ به دست می دهد.

ارتعاش آزاد سیستم های میرا

در صورت وجود میرایی، معادله حاکم بر ارتعاش آزاد سیستم، رابطه p(t)=0 می باشد:

$m{\ddot {u}}+c{\dot {u}}+ku=0$

می خواهیم حل u(t)  را برای رابطه فوق طوری تعیین نماییم که شرایط اولیه زیر در t=0  اقناع گردد:

${\dot {u}}={\dot {u}}(0),u=u(0)$

تغییر مکان u  بر حسب مودهای طبیعی سیستم نامیرا بیان می گردد. نتیجه می شود:

$m\Phi {\ddot {q}}+c\Phi {\dot {q}}+k\Phi q=0$

پیش ضرب رابطه فوق در${{\phi }^{T}}$، نتیجه می دهد:

$M{\ddot {q}}+C{\dot {q}}+Kq=0$

که در آن ماتریس های قطری M و K قبلا تعریف شده اند و:

$C={{\Phi }^{T}}c\Phi$

بر حسب توزیع میرایی در سازه ماتریس مربع c  می تواند قطری و یا غیر قطری باشد. اگر C قطری باشد رابطه بالا،N معادله دیفرانسیل غیر همبسته را برای مختصه های مودی ${{q}_{n}}$ بدست می دهد و گفته می شود که سیستم دارای میرایی کلاسیک  است. علت این نامگذاری از آن جهت است که مدل های تحلیل کلاسیک برای حل این سیستم ها قابل استفاده هستند. مودهای ارتعاشی چنین سیستمی مشابه مودهای سیستم نامیر است. سیستم هایی که ماتریس c  آنها غیر قطری است، گفته می شود که دارای میرایی غیر کلاسیک هستند. استفاده از تحلیل های کلاسیک برای حل این سیستم ها ممکن نیست و مودهای ارتعاشی طبیعی آنها مشابه سیستم های نامیرا نمی باشد.

سیستم ها با میرایی کلاسیک

برای سیستم N  درجه آزادی با میرایی کلاسیک، هر یک از N معادله دیفرانسیل در مختصات مودی برابرند با:

${{M}_{n}}{{\ddot {q}}_{n}}+C{{\dot {q}}_{n}}+{{K}_{n}}{{q}_{n}}=0$

که در آن ماتریس های ${{M}_{n}}$ و ${{K}_{n}}$قبلا تعریف شده اند و:

${{C}_{n}}=\phi _{n}^{T}c{{\phi }_{n}}$

بنابراین نسبت میرایی را برای هر مود می توان به روشی مشابه قبل( برای سیستم یک درجه آزادی )تعریف نمود:

${{\zeta }_{n}}={\frac {{C}_{n}}{2{{M}_{n}}{{\omega }_{n}}}}$

حل معادلات ارتعاش آزاد: سیستم ها با میرایی کلاسیک

در این قسمت حل کلاسیک ارتعاش آزاد سیستم ها با میرایی کلاسیک به علت تغییر مکان یا سرعت اولیه ارائه می شود. در میرایی کلاسیک مودهای طبیعی تحت تأثیر میرایی قرار ندارند. بنابراین فرکانس های طبیعی و مودهای طبیعی ابتدا برای سیستم بدون میرایی محاسبه می شوند. سپس اثر میرایی بر فرکانس طبیعی به روشی مشابه سیستم یک درجه آزادی مورد توجه قرار می گیرد. این موضوع از تقسیم رابطه ${{M}_{n}}{{\ddot {q}}_{n}}+C{{\dot {q}}_{n}}+{{K}_{n}}{{q}_{n}}=0$ بر ${{M}_{n}}$ آشکار می شود:

${{\ddot {q}}_{n}}+2{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}{{\dot {q}}_{n}}+{{\omega }_{n}}^{2}{{q}_{n}}=0$

با تنظیم نتایج، حل رابطه بالا به صورت زیر در می آید:

${{q}_{n}}(t)={{e}^{-{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}t}}({{q}_{n}}(0)\cos {{\omega }_{nD}}t+{\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)+{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}{{q}_{n}}(0)}{{\omega }_{nD}}}\sin {{\omega }_{nD}}t)$

که در آن n امین فرکانس طبیعی میرا طبق رابطه زیر تعریف می شود:

${{\omega }_{nD}}={{\omega }_{n}}{\sqrt {1-{{\zeta }_{n}}^{2}}}$

با قرار دادن${{q}_{n}}(t)$از رابطه بالا ، پاسخ تغییر شکلی سیستم تعیین می گردد:

$u(t)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{e}^{-{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}t}}\left[{{q}_{n}}(0)\cos {{\omega }_{nD}}t+{\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)+{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}{{q}_{n}}(0)}{{\omega }_{nD}}}\sin {{\omega }_{nD}}t\right]}$

معادله فوق حل مسئله ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی با میرایی کلاسیک می باشد. این رابطه، تغییر مکان u را به صورت تابعی از زمان به علت تغییر مکان اولیه (0)u و سرعت ${\dot {u}}(0)$ تعریف می نماید. با این فرض که فرکانس طبیعی${{\omega }_{n}}$ و مود شکل ${{\phi }_{n}}$ سیستم نامیرا به همراه نسبت میرایی مودی ${{\zeta }_{n}}$ در دست است، با ${{q}_{n}(0)}$ و ${{\dot {q}}_{n}}(0)$ تعریف شده ، طرف راست معادله بالا معلوم خواهد بود.

میرایی بر فرکانس ها و زمان های تناوب ارتعاش سیستم چند درجه آزادی مطابق رابطه  ${{\omega }_{nD}}={{\omega }_{n}}{\sqrt {1-{{\zeta }_{n}}^{2}}}$ اثر می گذارد که مشابه برای سیستم یک درجه آزادی است. بنابراین برای نسبت های میرایی کمتر از ۲۰ درصد، اثر میرایی بر فرکانس ها و زمانهای تناوب طبیعی سیستم چند درجه آزادی قابل اغماض است . اغلب سازه های واقعی دارای نسبت میرایی کمتر از ۲۰ درصد می باشند.

همانند سیستم یک درجه آزادی، دامنه نوسانات هر مود سیستم چند درجه آزادی، بر حسب نسبت میرایی ${{\zeta }_{n}}$ آن مود، مستهلک می شود. نسبت دامنه دو نوسان که به فاصله j  سیکل از هم قرار دارند، ، قابل محاسبه است. می توان به کمک آزمایش نسبت میرایی هر مود سیستم

چند درجه آزادی را تعیین نمود مشکل کار اعمال تغییر شکل اولیه متناسب با مود مورد نظر است. این مشکل برای مود اول کمتر است، چون مودهای از درجه بالاتر، زودتر مستهلک شده و پس از گذشت مدتی از شروع ارتعاش آزاد می توان انتظار داشت که ارتعاش برجا مانده، ارتعاش در مود اول یا مود اصلی است.

منابع:

Dynamics of structures - Theory and applications to earthquake engineering By Anil k.Chopra

Tony Araujo. The evolution of automotive vibration fixturing, EE-Evaluation Engineering, 2019